Упр.52.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

На экзамене в билете будет три вопроса.
а) Найдите количество возможных вариантов билета.
б) Сколько из них тех, в которых ученик знает ответы на все вопросы?
в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трёх типов?
г) Сколько из них тех, в которых ученик выучил большинство ответов на вопросы?

1. Всего способов выбрать 3 вопроса из 20:

   $$C_{20}^{3}=\frac{20!}{3!(20-3)!}=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{3\cdot 2\cdot 1}=1140.$$

2. Чтобы ученик знал ответы на все 3 вопроса, все они должны быть из 12 выученных:

   $$C_{12}^{3}=\frac{12!}{3!(12-3)!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1}=220.$$

3. В билетах с вопросами всех трёх типов должно быть:

   • 1 вопрос из 12 выученных;
   • 1 вопрос из 5 совсем не просмотренных;
   • 1 вопрос из оставшихся $$20-12-5=3$$ вопросов, которые ученик знает не полностью.

   Тогда число таких билетов:

   $$12\cdot 5\cdot 3=180.$$

4. Чтобы ученик выучил большинство ответов, в билете должны быть либо 3 выученных вопроса, либо 2 выученных и 1 из оставшихся 8 вопросов.

   Число билетов с 3 выученными вопросами:

   $$C_{12}^{3}=220.$$

   Число билетов с 2 выученными вопросами и 1 вопросом из остальных $$20-12=8$$:

   $$C_{12}^{2}\cdot 8=\frac{12\cdot 11}{2}\cdot 8=66\cdot 8=528.$$

   Итого:

   $$220+528=748.$$

Ответ

а) $$1140$$; б) $$220$$; в) $$180$$; г) $$748$$.