Упр.52.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько всего человек встретилось, если известно, что:
а) каждый здоровался с каждым;
б) только один человек не здоровался ни с кем;
в) только двое не поздоровались между собой;
г) четверо поздоровались только между собой?

1. Пусть всего встретилось $$n$$ человек.

   Если каждый здоровался с каждым, то число рукопожатий равно

   $$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}.$$

   По условию

   $$60<\frac{n(n-1)}{2}<70.$$

   Тогда

   $$120<n(n-1)<140.$$

   Единственное натуральное значение: $$n=12.$$

2. Если только один человек не здоровался ни с кем, то рукопожатия были только между остальными $$n-1$$ людьми:

   $$C_{n-1}^2=\frac{(n-1)(n-2)}{2}.$$

   Имеем

   $$60<\frac{(n-1)(n-2)}{2}<70.$$

   Отсюда

   $$120<(n-1)(n-2)<140.$$

   Единственное натуральное значение: $$n=13.$$

3. Если только двое не поздоровались между собой, то число рукопожатий на одно меньше, чем при полном обмене рукопожатиями:

   $$C_n^2-1=\frac{n(n-1)}{2}-1.$$

   Тогда

   $$60<\frac{n(n-1)}{2}-1<70,$$

   то есть

   $$61<\frac{n(n-1)}{2}<71.$$

   Отсюда

   $$122<n(n-1)<142.$$

   Единственное натуральное значение: $$n=12.$$

4. Если четверо поздоровались только между собой, то среди этих четырёх было

   $$C_4^2=\frac{4\cdot 3}{2}=6$$

   рукопожатий, а между остальными $$n-4$$ людьми —

   $$C_{n-4}^2=\frac{(n-4)(n-5)}{2}.$$

   По условию

   $$60<\frac{(n-4)(n-5)}{2}+6<70.$$

   Тогда

   $$54<\frac{(n-4)(n-5)}{2}<64,$$

   откуда

   $$108<(n-4)(n-5)<128.$$

   Единственное натуральное значение: $$n=15.$$

Ответ

а) $$12$$; б) $$13$$; в) $$12$$; г) $$15$$.