Упр.52.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) число С(n + 1)^2 составляет 80 % от числа Cn^3;
б) число С(n + 1)^3 составляет 120% от числа Cn^4;
в) число С2n^(n + 1) составляет 56% от числа С(2n + 1)^(n — 1);
г) число С(2n + 3)^n составляет 120% от числа C(2n + 2)^(n + 1).

1. а) $$C_{n+1}^2=80\% \cdot C_n^3=0{,}8C_n^3$$

   $$\frac{(n+1)!}{2!(n-1)!}=0{,}8\cdot \frac{n!}{3!(n-3)!}$$
   $$\frac{(n+1)n}{2}=0{,}8\cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$
   $$3(n+1)=0{,}8(n-1)(n-2)$$
   $$15(n+1)=4(n-1)(n-2)$$
   $$15n+15=4n^2-12n+8$$
   $$4n^2-27n-7=0$$
   $$D=27^2+4\cdot 4\cdot 7=841$$
   $$n=\frac{27\pm 29}{8}$$
   $$n_1=-\frac14,\quad n_2=7$$

   Так как $$n\in \mathbb{N}$$, получаем $$n=7$$.

2. б) $$C_{n+1}^3=120\% \cdot C_n^4=1{,}2C_n^4$$

   $$\frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}=1{,}2\cdot \frac{n!}{4!(n-4)!}$$
   $$\frac{(n+1)n(n-1)}{6}=1{,}2\cdot \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$$
   $$20(n+1)=6(n-2)(n-3)$$
   $$20n+20=6n^2-30n+36$$
   $$6n^2-50n+16=0$$
   $$3n^2-25n+8=0$$
   $$D=25^2-4\cdot 3\cdot 8=529$$
   $$n=\frac{25\pm 23}{6}$$
   $$n_1=\frac13,\quad n_2=8$$

   Так как $$n\in \mathbb{N}$$, получаем $$n=8$$.

3. в) $$C_{2n}^{n+1}=56\% \cdot C_{2n+1}^{\,n-1}=0{,}56C_{2n+1}^{\,n-1}$$

   $$\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}=0{,}56\cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}$$
   $$\frac{(2n)!}{(n+1)!}=0{,}56\cdot \frac{(2n+1)!}{(n+2)!}$$
   $$n+2=0{,}56(2n+1)$$
   $$n+2=1{,}12n+0{,}56$$
   $$0{,}12n=1{,}44$$
   $$n=12$$

4. г) $$C_{2n+3}^{\,n}=120\% \cdot C_{2n+2}^{\,n+1}=1{,}2C_{2n+2}^{\,n+1}$$

   $$\frac{(2n+3)!}{n!(n+3)!}=1{,}2\cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}$$
   $$\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)(n+3)}=1{,}2\cdot \frac{1}{(n+1)^2}$$
   $$ (2n+3)(n+1)=1{,}2(n+2)(n+3)$$
   $$2n^2+5n+3=1{,}2n^2+6n+7{,}2$$
   $$0{,}8n^2-n-4{,}2=0$$
   $$4n^2-5n-21=0$$
   $$D=25+336=361$$
   $$n=\frac{5\pm 19}{8}$$
   $$n_1=3,\quad n_2=-\frac74$$

   Так как $$n\in \mathbb{N}$$, получаем $$n=3$$.

Ответ

а) $$7$$; б) $$8$$; в) $$12$$; г) $$3$$.