Упр.52.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Аx^5 = 18А(x — 2)^4;
б) А(x — 1)^2 — Сx^1 = 79;
в) Сx^3 = Аx^2;
г) Сx^2 = Аx^3 + Cx^3.

Используем формулы:

$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}, \qquad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

1. $$A_x^5=18A_{x-2}^4$$

   $$\frac{x!}{(x-5)!}=18\cdot \frac{(x-2)!}{(x-6)!}$$

   $$\frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-5)!}=18\cdot \frac{(x-2)!}{(x-6)!}$$

   $$\frac{x(x-1)}{x-5}=18$$

   $$x(x-1)=18(x-5)$$

   $$x^2-x=18x-90$$

   $$x^2-19x+90=0$$

   $$\left(x-9\right)\left(x-10\right)=0$$

   $$x=9 \text{ или } x=10$$

2. $$A_{x-1}^2-C_x^1=79$$

   $$\frac{(x-1)!}{(x-3)!}-\frac{x!}{1!(x-1)!}=79$$

   $$\frac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{(x-3)!}-\frac{x(x-1)!}{(x-1)!}=79$$

   $$ (x-1)(x-2)-x=79$$

   $$x^2-3x+2-x-79=0$$

   $$x^2-4x-77=0$$

   $$\left(x-11\right)\left(x+7\right)=0$$

   Так как $x>0$, получаем $$x=11.$$

3. $$C_x^3=A_x^2$$

   $$\frac{x!}{3!(x-3)!}=\frac{x!}{(x-2)!}$$

   $$\frac{1}{3!(x-3)!}=\frac{1}{(x-2)!}$$

   $$\frac{1}{6}=\frac{1}{x-2}$$

   $$x-2=6$$

   $$x=8$$

4. $$C_x^4=A_x^3+C_x^3$$

   $$\frac{x!}{4!(x-4)!}=\frac{x!}{(x-3)!}+\frac{x!}{3!(x-3)!}$$

   $$\frac{(x-3)(x-2)(x-1)x}{4!}=(x-2)(x-1)x+\frac{(x-2)(x-1)x}{3!}$$

   $$\frac{x-3}{4!}=1+\frac{1}{3!}$$

   $$\frac{x-3}{24}=1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}$$

   $$x-3=24\cdot \frac{7}{6}=28$$

   $$x=31$$

Ответ

а) $$9,\,10$$; б) $$11$$; в) $$8$$; г) $$31$$.