Упр.52.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Сx^2 = 2Сx^2;
б) Сx^(x — 2) = 15;
в) Сx^2 + С(x + 1)^2 = 49;
г) C8^x = 70.

1. $$C_x^3=2C_x^2$$

   По формуле сочетаний:

   $$\frac{x!}{3!(x-3)!}=2\cdot \frac{x!}{2!(x-2)!}$$

   Сократим на $$x!$$:

   $$\frac{1}{3!(x-3)!}= \frac{2}{2!(x-2)!}$$

   $$\frac{1}{6(x-3)!}= \frac{1}{(x-2)!}$$

   $$6(x-3)!=(x-2)!$$

   $$6=(x-2)$$

   $$x=8$$

2. $$C_x^{x-2}=15$$

   $$\frac{x!}{(x-2)!\,(x-(x-2))!}=15$$

   $$\frac{x!}{(x-2)!\,2!}=15$$

   $$\frac{x(x-1)}{2}=15$$

   $$x^2-x-30=0$$

   $$\left(x-6\right)\left(x+5\right)=0$$

   Так как $$x\ge 2$$, получаем $$x=6$$.

3. $$C_x^2+C_{x+1}^2=49$$

   $$\frac{x(x-1)}{2}+\frac{(x+1)x}{2}=49$$

   $$\frac{x\bigl((x-1)+(x+1)\bigr)}{2}=49$$

   $$\frac{x\cdot 2x}{2}=49$$

   $$x^2=49$$

   Так как $$x\ge 2$$, то $$x=7$$.

4. $$C_8^x=70$$

   $$\frac{8!}{x!(8-x)!}=70$$

   Так как $$70=C_8^4$$, то

   $$x=4$$

Ответ

а) $$8$$; б) $$6$$; в) $$7$$; г) $$4$$.