Упр.49.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

плотность в точке, удалённой от левого конца на х, 0 < = х < = l, определяется по формуле р = р(х). Найдите массу стержня, если: а) р(х) = х^2 - х + 1, l = 6; б) p(x) = 1 / (x + 3)^2, l = 3; в) р(х) = -х^2 + 6x, l = 2; г) р(х) = 1 / (2х +1)^2, l = 1.

1. Масса стержня находится по формуле

   $$m=\int_0^l \rho(x)\,dx.$$

2. а)

   $$m=\int_0^6 (x^2-x+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x\right)\Bigg|_0^6.$$

   $$m=\frac{6^3}{3}-\frac{6^2}{2}+6=72-18+6=60.$$

3. б)

   $$m=\int_0^3 \frac{1}{(x+3)^2}\,dx=\int_0^3 (x+3)^{-2}\,dx.$$

   $$m=\left(-\frac{1}{x+3}\right)\Bigg|_0^3=-\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.$$

4. в)

   $$m=\int_0^2 (-x^2+6x)\,dx=\left(-\frac{x^3}{3}+3x^2\right)\Bigg|_0^2.$$

   $$m=-\frac{2^3}{3}+3\cdot 2^2=-\frac{8}{3}+12=\frac{28}{3}=9\frac{1}{3}.$$

5. г)

   $$m=\int_0^1 \frac{1}{(2x+1)^2}\,dx=\int_0^1 (2x+1)^{-2}\,dx.$$

   $$m=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2x+1}\right)\Bigg|_0^1=-\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 1}=\frac{1}{3}.$$

Ответ

а) $$60$$; б) $$\frac{1}{6}$$; в) $$9\frac{1}{3}$$; г) $$\frac{1}{3}$$.