Упр.49.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Какой путь пройдёт точка за 3 секунды, считая от начала движения (t = 0)?
a) v(t) = 3t^2 — 4t + 1;
б) v(t) = 1 / корень(5t + 1);
в) v(t) = 4t^3 — 6t^2;
г) v(t) = 1 / корень(7t + 4).

1. а) $$v(t)=3t^2-4t+1$$

   Найдём путь за время от $$t=0$$ до $$t=3$$:

   $$ s=\int_0^3 (3t^2-4t+1)\,dt =\left(t^3-2t^2+t\right)\Big|_0^3 $$

   $$ s=(27-18+3)-0=12 $$

   Ответ: $$12\text{ см}$$

2. б) $$v(t)=\frac{1}{\sqrt{5t+1}}$$

   $$ s=\int_0^3 \frac{1}{\sqrt{5t+1}}\,dt =\int_0^3 (5t+1)^{-\frac12}\,dt $$

   $$ s=\frac{2}{5}\sqrt{5t+1}\Big|_0^3 =\frac{2}{5}\left(\sqrt{16}-\sqrt{1}\right) =\frac{2}{5}(4-1)=\frac{6}{5} $$

   Ответ: $$1{,}2\text{ см}$$

3. в) $$v(t)=4t^3-6t^2$$

   $$ s=\int_0^3 (4t^3-6t^2)\,dt =\left(t^4-2t^3\right)\Big|_0^3 $$

   $$ s=(81-54)-0=27 $$

   Ответ: $$27\text{ см}$$

4. г) $$v(t)=\frac{1}{\sqrt{7t+4}}$$

   $$ s=\int_0^3 \frac{1}{\sqrt{7t+4}}\,dt =\int_0^3 (7t+4)^{-\frac12}\,dt $$

   $$ s=\frac{2}{7}\sqrt{7t+4}\Big|_0^3 =\frac{2}{7}\left(\sqrt{25}-\sqrt{4}\right) =\frac{2}{7}(5-2)=\frac{6}{7} $$

   Ответ: $$\frac{6}{7}\text{ см}$$