Упр.49.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у = x^3, касательной к нему в точке x = 1 и осью у.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у = x^3 и касательными к нему в точках x = 0 и x = 1.

а) Для функции $$y=x^3$$ найдём производную:

$$y’=(x^3)’=3x^2.$$

В точке $$x=1$$:

$$y'(1)=3,\qquad y(1)=1.$$

Уравнение касательной:

$$y=3(x-1)+1=3x-2.$$

Искомая площадь равна

$$ S=\int\limits_0^1\bigl(x^3-(3x-2)\bigr)\,dx =\int\limits_0^1(x^3-3x+2)\,dx. $$

$$ S=\left(\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_0^1 =\left(\frac14-\frac32+2\right)-0 =\frac34. $$

б) Найдём уравнения касательных к графику $$y=x^3$$ в точках $$x=0$$ и $$x=1$$.

$$y’=3x^2.$$

При $$x=0$$:

$$y'(0)=0,\qquad y(0)=0,$$

значит, касательная имеет вид $$y=0$$.

При $$x=1$$:

$$y'(1)=3,\qquad y(1)=1,$$

поэтому

$$y=3(x-1)+1=3x-2.$$

Точка пересечения касательной $$y=3x-2$$ с осью $$Ox$$:

$$3x-2=0,\qquad x=\frac23.$$

Тогда площадь фигуры:

$$ S=\int\limits_0^{2/3}x^3\,dx+\int\limits_{2/3}^1\bigl(x^3-(3x-2)\bigr)\,dx. $$

Вычислим:

$$ \int\limits_0^{2/3}x^3\,dx=\frac{x^4}{4}\Bigg|_0^{2/3}=\frac{4}{81}, $$

$$ \int\limits_{2/3}^1(x^3-3x+2)\,dx =\left(\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{2/3}^1 =\frac{11}{324}. $$

Следовательно,

$$ S=\frac{4}{81}+\frac{11}{324} =\frac{16}{324}+\frac{11}{324} =\frac{27}{324} =\frac{1}{12}. $$

Ответ

а) $$\frac34$$; б) $$\frac{1}{12}$$.