Упр.49.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) рис. 74;
б) рис. 75.

а) По рисунку парабола ветвями вниз проходит через точки $$ (0,0) $$ и $$ (2,0) $$, значит её уравнение имеет вид

$$y=-x(x-2)=-x^2+2x.$$

Прямая проходит через точки $$ (0,-2) $$ и $$ (2,0) $$, поэтому её уравнение:

$$y=x-2.$$

Площадь параболического сегмента равна разности ординат графиков на отрезке от $$-1$$ до $$2$$:

$$ S=\int_{-1}^{2}\bigl((-x^2+2x)-(x-2)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx. $$

Найдём первообразную:

$$ \int(-x^2+x+2)\,dx=-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x. $$

Тогда

$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-1}^{2} =\left(-\frac{8}{3}+2+4\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2\right) = \frac{9}{2}. $$

Следовательно,

$$S=4{,}5.$$

б) По рисунку парабола ветвями вверх имеет вершину в точке $$ (1,-2) $$ и проходит через точки пересечения с прямой $$ (-1,2) $$ и $$ (2,-1) $$.

Запишем её в виде

$$y=x^2-2x-1.$$

Прямая проходит через точки $$ (0,1) $$ и $$ (1,0) $$, значит

$$y=-x+1.$$

Тогда площадь сегмента:

$$ S=\int_{-1}^{2}\bigl((-x+1)-(x^2-2x-1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx. $$

Это тот же интеграл, поэтому

$$S=4{,}5.$$

Ответ

а) $$4{,}5$$; б) $$4{,}5$$.