Упр.49.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = 3 — х^2, у = 1 + |х|;
б) у = х^2, у = 2 — |х|.

а) Графики функций $$y=3-x^2$$ и $$y=1+|x|$$ чётные, значит искомая фигура симметрична относительно оси $$Oy$$.

Найдём точки пересечения при $$x \ge 0$$:

$$3-x^2=1+x$$

$$x^2+x-2=0$$

$$ (x+2)(x-1)=0 $$

С учётом условия $$x \ge 0$$ получаем $$x=1$$. Тогда на отрезке $$[0;1]$$ верхняя функция — $$y=3-x^2$$, нижняя — $$y=1+x$$.

Площадь одной половины фигуры:

$$ S_1=\int_0^1 \bigl((3-x^2)-(1+x)\bigr)\,dx =\int_0^1 (2-x^2-x)\,dx $$

$$ S_1=\left(2x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^1 =2-\frac13-\frac12=\frac76 $$

Тогда

$$S=2S_1=2\cdot\frac76=\frac73$$

б) Графики функций $$y=x^2$$ и $$y=2-|x|$$ также чётные, значит фигура симметрична относительно оси $$Oy$$.

Найдём точки пересечения при $$x \ge 0$$:

$$x^2=2-x$$

$$x^2+x-2=0$$

$$ (x+2)(x-1)=0 $$

С учётом условия $$x \ge 0$$ получаем $$x=1$$. На отрезке $$[0;1]$$ верхняя функция — $$y=2-x$$, нижняя — $$y=x^2$$.

Площадь одной половины фигуры:

$$ S_1=\int_0^1 \bigl((2-x)-x^2\bigr)\,dx =\int_0^1 (2-x-x^2)\,dx $$

$$ S_1=\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =2-\frac12-\frac13=\frac76 $$

Тогда

$$S=2S_1=2\cdot\frac76=\frac73$$

Ответ

а) $$\frac73$$; б) $$\frac73$$.