Упр.49.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = х^2 — 4х, y = -(х — 4)^2;
б) у = х^2 + 2х — 3, у = -х^2 + 2х + 5.

а) Найдём точки пересечения графиков:

$$x^2-4x=-(x-4)^2$$

$$x^2-4x=-x^2+8x-16$$

$$2x^2-12x+16=0$$

$$x^2-6x+8=0$$

$$ (x-2)(x-4)=0 $$

Отсюда $$x=2$$ и $$x=4$$.

На отрезке $$[2;4]$$ сверху расположена функция $$y=-(x-4)^2$$, снизу — $$y=x^2-4x$$. Тогда

$$ S=\int\limits_{2}^{4}\Bigl( -(x-4)^2-(x^2-4x)\Bigr)\,dx =\int\limits_{2}^{4}(12x-2x^2-16)\,dx. $$

$$ S=\left(6x^2-\frac{2x^3}{3}-16x\right)\Bigg|_{2}^{4} $$

$$ S=\left(6\cdot 4^2-\frac{2\cdot 4^3}{3}-16\cdot 4\right)-\left(6\cdot 2^2-\frac{2\cdot 2^3}{3}-16\cdot 2\right) =\frac{8}{3}. $$

б) Найдём точки пересечения графиков:

$$x^2+2x-3=-x^2+2x+5$$

$$2x^2-8=0$$

$$x^2=4$$

$$x=\pm 2$$

На отрезке $$[-2;2]$$ сверху расположена функция $$y=-x^2+2x+5$$, снизу — $$y=x^2+2x-3$$. Тогда

$$ S=\int\limits_{-2}^{2}\Bigl( (-x^2+2x+5)-(x^2+2x-3)\Bigr)\,dx =\int\limits_{-2}^{2}(8-2x^2)\,dx. $$

$$ S=\left(8x-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{2} =\left(16-\frac{16}{3}\right)-\left(-16+\frac{16}{3}\right) =\frac{64}{3}. $$

Ответ

а) $$\frac{8}{3}$$; б) $$\frac{64}{3}$$.