Упр.49.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = е^х, у = 1/x, х = 2, х = 3;
б) у = 1/x, у = 1, x = 5;
в) у = корень(x), y = 1/x, х = 4;
г) y = -1/x, y = -1, x = е.

1. а) На отрезке $$[2;3]$$ сверху расположена кривая $$y=e^x$$, снизу — $$y=\frac{1}{x}$$. Тогда

   $$ S=\int\limits_{2}^{3}\left(e^x-\frac{1}{x}\right)\,dx =\left(e^x-\ln|x|\right)\Big|_{2}^{3} =\left(e^3-\ln 3\right)-\left(e^2-\ln 2\right). $$

   $$S=e^3-e^2+\ln\frac{2}{3}.$$

2. б) На отрезке $$[1;5]$$ сверху расположена прямая $$y=1$$, снизу — $$y=\frac{1}{x}$$. Тогда

   $$ S=\int\limits_{1}^{5}\left(1-\frac{1}{x}\right)\,dx =\left(x-\ln|x|\right)\Big|_{1}^{5} =(5-\ln 5)-(1-\ln 1). $$

   $$S=4-\ln 5.$$

3. в) На отрезке $$[1;4]$$ сверху расположена кривая $$y=\sqrt{x}$$, снизу — $$y=\frac{1}{x}$$. Тогда

   $$ S=\int\limits_{1}^{4}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{x}\right)\,dx =\int\limits_{1}^{4}\left(x^{1/2}-x^{-1}\right)\,dx =\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-\ln|x|\right)\Big|_{1}^{4}. $$

   $$ S=\left(\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}-\ln 4\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\ln 1\right) =\frac{14}{3}-\ln 4. $$

4. г) На отрезке $$[1;e]$$ сверху расположена прямая $$y=-1$$, снизу — $$y=-\frac{1}{x}$$. Тогда

   $$ S=\int\limits_{1}^{e}\left(-\frac{1}{x}-(-1)\right)\,dx =\int\limits_{1}^{e}\left(1-\frac{1}{x}\right)\,dx =\left(x-\ln|x|\right)\Big|_{1}^{e}. $$

   $$S=(e-\ln e)-(1-\ln 1)=e-2.$$

Ответ

а) $$e^3-e^2+\ln\frac{2}{3}$$; б) $$4-\ln 5$$; в) $$\frac{14}{3}-\ln 4$$; г) $$e-2$$.