Упр.49.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = корень(x), у = -2корень(х), х = 4;
б) у = 2корень(х), у = -корень(x), х = 9.

а) Найдём точки пересечения графиков:

$$\sqrt{x}=-2\sqrt{x}$$

$$3\sqrt{x}=0$$

$$x=0$$

На отрезке $$[0;4]$$ верхняя функция — $$y=\sqrt{x}$$, нижняя — $$y=-2\sqrt{x}$$. Тогда площадь фигуры:

$$ S=\int_0^4 \left(\sqrt{x}-(-2\sqrt{x})\right)\,dx =\int_0^4 3\sqrt{x}\,dx =3\int_0^4 x^{1/2}\,dx $$

$$ S=3\cdot \frac{2}{3}x^{3/2}\Big|_0^4 =2x^{3/2}\Big|_0^4 =2\cdot 4^{3/2}-2\cdot 0^{3/2} =2\cdot 8=16 $$

б) Найдём точки пересечения графиков:

$$2\sqrt{x}=-\sqrt{x}$$

$$3\sqrt{x}=0$$

$$x=0$$

На отрезке $$[0;9]$$ верхняя функция — $$y=2\sqrt{x}$$, нижняя — $$y=-\sqrt{x}$$. Тогда площадь фигуры:

$$ S=\int_0^9 \left(2\sqrt{x}-(-\sqrt{x})\right)\,dx =\int_0^9 3\sqrt{x}\,dx =3\int_0^9 x^{1/2}\,dx $$

$$ S=3\cdot \frac{2}{3}x^{3/2}\Big|_0^9 =2x^{3/2}\Big|_0^9 =2\cdot 9^{3/2}-2\cdot 0^{3/2} =2\cdot 27=54 $$

Ответ

а) $$16$$; б) $$54$$.