Упр.49.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) рис. 70;
б) рис. 71;
в) рис. 72;
г) рис. 73.
а) Фигура ограничена линиями $$y=x^3,\ y=8,\ x=0,\ x=2.$$
На отрезке $$[0;2]$$ имеем $$x^3 \le 8,$$ поэтому
$$ S=\int_0^2 (8-x^3)\,dx=\left(8x-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_0^2 =\left(16-\frac{16}{4}\right)-0=12. $$
б) Фигура ограничена линиями $$y=\sin x,\ y=1,\ x=0,\ x=\frac{\pi}{2}.$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ имеем $$\sin x \le 1,$$ поэтому
$$ S=\int_0^{\pi/2} (1-\sin x)\,dx =\left(x+\cos x\right)\Bigg|_0^{\pi/2} =\frac{\pi}{2}+0-0-1=\frac{\pi}{2}-1. $$
в) Фигура ограничена линиями $$y=x^2,\ y=4,\ x=-2,\ x=2.$$
На отрезке $$[-2;2]$$ имеем $$x^2 \le 4,$$ поэтому
$$ S=\int_{-2}^{2} (4-x^2)\,dx =\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{2} =\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right) =\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}. $$
г) Фигура ограничена линиями $$y=\sin x,\ y=0,\ x=0,\ x=\pi.$$
На отрезке $$[0;\pi]$$ имеем $$\sin x \ge 0,$$ поэтому
$$ S=\int_0^\pi \sin x\,dx =-\cos x\Bigg|_0^\pi =-\cos\pi+\cos 0=1+1=2. $$
Ответ
а) $$12$$; б) $$\frac{\pi}{2}-1$$; в) $$10\frac{2}{3}$$; г) $$2$$.
