Упр.49.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = 1 + 1/2 cos х, у = 0, х = -пи/2, х = пи/2;
б) у = 1 — sin 2х, y = 0, x = 0, x = пи.

а) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ функция $$y=1+\frac12\cos x$$ неотрицательна, так как $$\cos x\ge 0$$, а значит $$1+\frac12\cos x\ge 1.$$

Тогда площадь фигуры равна определённому интегралу:

$$ S=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\frac12\cos x\right)\,dx =\left(x+\frac12\sin x\right)\Bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}. $$

Вычислим:

$$ S=\left(\frac{\pi}{2}+\frac12\sin\frac{\pi}{2}\right)-\left(-\frac{\pi}{2}+\frac12\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) $$

$$ =\left(\frac{\pi}{2}+\frac12\right)-\left(-\frac{\pi}{2}-\frac12\right)=\pi+1. $$

б) На отрезке $$[0;\pi]$$ функция $$y=1-\sin 2x$$ неотрицательна, так как $$\sin 2x\le 1.$$

Площадь фигуры:

$$ S=\int_0^\pi (1-\sin 2x)\,dx =\left(x+\frac12\cos 2x\right)\Bigg|_0^\pi. $$

Тогда

$$ S=\left(\pi+\frac12\cos 2\pi\right)-\left(0+\frac12\cos 0\right) =\left(\pi+\frac12\right)-\frac12=\pi. $$

Ответ

а) $$\pi+1$$; б) $$\pi$$.