Упр.48.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x) = e^x + 1/x;
б) f(x) = 3/x + 4/x^2 — 5 / sin^2 x;
в) f(x) = x^2/3 — x^-1/3;
г) f(x) = (5)корень(x) — 2e^x.

1. а) $$f(x)=e^x+\frac{1}{x}$$

   Найдём первообразную по частям:

   $$\int \left(e^x+\frac{1}{x}\right)\,dx=\int e^x\,dx+\int \frac{1}{x}\,dx=e^x+\ln|x|+C.$$

2. б) $$f(x)=\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}-\frac{5}{\sin^2 x}$$

   Используем формулы:

   $$\int \frac{3}{x}\,dx=3\ln|x|,\qquad \int \frac{4}{x^2}\,dx=4\int x^{-2}\,dx=-\frac{4}{x},$$

   $$\int \left(-\frac{5}{\sin^2 x}\right)\,dx=-5\int \csc^2 x\,dx=5\ctg x.$$

   Тогда

   $$F(x)=3\ln|x|-\frac{4}{x}+5\ctg x+C.$$

3. в) $$f(x)=x^{\frac{2}{3}}-x^{-\frac{1}{3}}$$

   Интегрируем по формуле $$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$ при $$n\ne -1$$:

   $$\int x^{\frac{2}{3}}\,dx=\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}},$$

   $$\int \left(-x^{-\frac{1}{3}}\right)\,dx=-\frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}-\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}+C.$$

4. г) $$f(x)=\sqrt[5]{x}-2e^x=x^{\frac{1}{5}}-2e^x$$

   Тогда

   $$\int \left(x^{\frac{1}{5}}-2e^x\right)\,dx=\frac{x^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}}-2e^x+C=\frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}}-2e^x+C.$$

Ответ

а) $$F(x)=e^x+\ln|x|+C$$

б) $$F(x)=3\ln|x|-\frac{4}{x}+5\ctg x+C$$

в) $$F(x)=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}-\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}+C$$

г) $$F(x)=\frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}}-2e^x+C$$