Упр.48.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) f(x) = 2х, у = х + 2;
б) f(x) = Зx^3, у = Зх + 4,75.

1. а) $$f(x)=2x,\quad y=x+2.$$

   Найдём первообразную:

   $$F(x)=\int 2x\,dx=x^2+C.$$

   Так как график $F(x)$ касается прямой $y=x+2$, уравнение

   $$x^2+C=x+2$$

   должно иметь единственное решение. Тогда дискриминант равен нулю:

   $$D=1-4(C-2)=0,$$

   $$1-4C+8=0,$$

   $$4C=9,$$

   $$C=\frac{9}{4}.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=x^2+\frac{9}{4}.$$

2. б) $$f(x)=3x^3,\quad y=3x+4{,}75.$$

   Найдём первообразную:

   $$F(x)=\int 3x^3\,dx=\frac{3}{4}x^4+C.$$

   В точке касания угловой коэффициент касательной равен производной:

   $$F'(x)=3x^3.$$

   Так как прямая имеет наклон $$3,$$ получаем

   $$3x_0^3=3,$$

   $$x_0^3=1,$$

   $$x_0=1.$$

   Подставим точку касания в уравнение касательной:

   $$y=F(1)+F'(1)(x-1).$$

   Или сразу:

   $$y=\frac{3}{4}\cdot 1^4+C+3\cdot 1^3(x-1)=3x+\left(C-\frac{9}{4}\right).$$

   Сравниваем с заданной прямой $$y=3x+4{,}75$$:

   $$C-\frac{9}{4}=4{,}75,$$

   $$C=4{,}75+\frac{9}{4}=7.$$

   Значит,

   $$F(x)=\frac{3}{4}x^4+7.$$

Ответ

а) $$F(x)=x^2+\frac{9}{4}$$; б) $$F(x)=\frac{3}{4}x^4+7$$.