Упр.48.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x) = sin 2x;
б) f(x) = e^(2x — 5) — cos 3x;
в) f(x) = 1 / cos^2 x/2;
г) f(x) = (3)корень(3x — 1) + 1 / (2 — 7x).

1. а) $$f(x)=\sin 2x$$

   Найдём первообразную:

   $$F(x)=\int \sin 2x\,dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C.$$

2. б) $$f(x)=e^{2x-5}-\cos 3x$$

   Интегрируем по частям суммы:

   $$F(x)=\int \left(e^{2x-5}-\cos 3x\right)dx=\frac{1}{2}e^{2x-5}-\frac{1}{3}\sin 3x+C.$$

3. в) $$f(x)=\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}$$

   Так как $$\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}=\sec^2 \frac{x}{2},$$ то

   $$F(x)=\int \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}\,dx=2\tan \frac{x}{2}+C.$$

4. г) $$f(x)=\sqrt[3]{3x-1}+\frac{1}{2-7x}$$

   Запишем в степенном виде:

   $$f(x)=(3x-1)^{\frac13}+\frac{1}{2-7x}.$$

   Тогда

   $$ F(x)=\int (3x-1)^{\frac13}dx+\int \frac{1}{2-7x}\,dx =\frac14(3x-1)^{\frac43}-\frac17\ln|2-7x|+C. $$

Ответ

а) $$-\frac12\cos 2x+C$$

б) $$\frac12 e^{2x-5}-\frac13\sin 3x+C$$

в) $$2\tan \frac{x}{2}+C$$

г) $$\frac14(3x-1)^{\frac43}-\frac17\ln|2-7x|+C$$