Упр.47.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

у = h(x) с положительным направлением оси абсцисс в точке с абсциссой х0:
a) h(х) = 1/5 e^(5x — 1), x0 = 0,2;
б) h(х) = е^(-x — корень(3))б x0 = -корень(3);
в) h(х) = 1/3 e^(1 — 3x), x0 = 1/3;
г) h(х) = е^(корень(3)/3 *x — 1), x0 = корень(3).

Подробный ответ

а) $$h(x)=\frac15 e^{5x-1}, \quad x_0=0{,}2$$
Найдём производную:
$$h'(x)=\frac15 \cdot 5e^{5x-1}=e^{5x-1}$$
Тогда
$$h'(0{,}2)=e^{5\cdot 0{,}2-1}=e^0=1$$
Следовательно,
$$\alpha=\arctg 1=\frac{\pi}{4}$$
б) $$h(x)=e^{-x-\sqrt3}, \quad x_0=-\sqrt3$$
Найдём производную:
$$h'(x)=-(e^{-x-\sqrt3})=-e^{-x-\sqrt3}$$
Тогда
$$h'(-\sqrt3)=-e^{-(-\sqrt3)-\sqrt3}=-e^0=-1$$
Угол наклона касательной:
$$\alpha=2\pi-\arctg 1=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$$
в) $$h(x)=\frac13 e^{1-3x}, \quad x_0=\frac13$$
Найдём производную:
$$h'(x)=\frac13 \cdot (-3)e^{1-3x}=-e^{1-3x}$$
Тогда
$$h’\!\left(\frac13\right)=-e^{1-3\cdot \frac13}=-e^0=-1$$
Следовательно,
$$\alpha=\frac{3\pi}{4}$$
г) $$h(x)=e^{\frac{\sqrt3}{3}x-1}, \quad x_0=\sqrt3$$
Найдём производную:
$$h'(x)=\frac{\sqrt3}{3}e^{\frac{\sqrt3}{3}x-1}$$
Тогда
$$h'(\sqrt3)=\frac{\sqrt3}{3}e^{\frac{\sqrt3}{3}\cdot \sqrt3-1}=\frac{\sqrt3}{3}e^0=\frac{\sqrt3}{3}$$
Следовательно,
$$\alpha=\arctg\frac{\sqrt3}{3}=\frac{\pi}{6}$$