Упр.47.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = е^x + х^2, х0 = 0;
б) у = е^х (x + 1), x0 = -1;
в) y = e^x — x, x0 = 1;
г) у = e^x / (x + 1), x0 = 0.

1. $$y=e^x+x^2,\quad x_0=0$$

   $$y’=(e^x+x^2)’=e^x+2x$$

   $$y'(0)=e^0+2\cdot 0=1$$

2. $$y=e^x(x+1),\quad x_0=-1$$

   По правилу производной произведения:

   $$y’=(e^x)'(x+1)+e^x(x+1)’=e^x(x+1)+e^x=e^x(x+2)$$

   $$y'(-1)=e^{-1}(-1+2)=e^{-1}=\frac{1}{e}$$

3. $$y=e^x-x,\quad x_0=1$$

   $$y’=(e^x-x)’=e^x-1$$

   $$y'(1)=e^1-1=e-1$$

4. $$y=\frac{e^x}{x+1},\quad x_0=0$$

   По правилу производной частного:

   $$y’=\frac{(e^x)'(x+1)-e^x(x+1)’}{(x+1)^2}=\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2}=\frac{xe^x}{(x+1)^2}$$

   $$y'(0)=\frac{0\cdot e^0}{(0+1)^2}=0$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$\frac{1}{e}$$; в) $$e-1$$; г) $$0$$.