Упр.47.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) прямая y = Зх — 4 + a является касательной к графику функции у = ln (3x — 4);
б) прямая у = 2х + 3 + а является касательной к графику функции у = ln (2х + 3)?

а) Для функции $$y=\ln(3x-4)$$ найдём производную:

$$y’=\frac{3}{3x-4}.$$

Так как прямая $$y=3x-4+a$$ является касательной, её угловой коэффициент равен $$3$$. Тогда

$$\frac{3}{3x_0-4}=3,$$

откуда

$$3x_0-4=1,\quad 3x_0=5,\quad x_0=\frac{5}{3}.$$

Найдём ординату точки касания:

$$y_0=\ln\left(3\cdot\frac{5}{3}-4\right)=\ln 1=0.$$

Уравнение касательной:

$$y=3\left(x-\frac{5}{3}\right)+0=3x-5.$$

Сравниваем с заданной прямой:

$$3x-4+a=3x-5,$$

$$a=-1.$$

б) Для функции $$y=\ln(2x+3)$$ найдём производную:

$$y’=\frac{2}{2x+3}.$$

Угловой коэффициент прямой $$y=2x+3+a$$ равен $$2$$, значит

$$\frac{2}{2x_0+3}=2,$$

откуда

$$2x_0+3=1,\quad 2x_0=-2,\quad x_0=-1.$$

Найдём значение функции в точке касания:

$$y_0=\ln(2\cdot(-1)+3)=\ln 1=0.$$

Уравнение касательной:

$$y=2(x+1)+0=2x+2.$$

Сравниваем с заданной прямой:

$$2x+3+a=2x+2,$$

$$a=-1.$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$-1$$.