Упр.47.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) у = е^x/2;
б) у = ln x;
в) у = е^x/3;
г) у = ln x^3.

Подробный ответ

Найдём касательную в точке $$x=a$$ и потребуем, чтобы она проходила через начало координат. Тогда для функции $$y=f(x)$$ уравнение касательной имеет вид

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

Так как прямая проходит через точку $$\left(0,0\right)$$, подставим $$x=0$$, $$y=0$$:

$$0=f(a)-af'(a).$$

Решим это условие для каждого пункта.

$$y=e^{x/2}$$
$$f(a)=e^{a/2}, \qquad f'(a)=\frac12 e^{a/2}.$$
Условие прохождения через начало координат:
$$e^{a/2}-a\cdot \frac12 e^{a/2}=0$$
$$e^{a/2}\left(1-\frac a2\right)=0,$$
откуда $$a=2.$$
Тогда
$$y=e^{1}+\frac12 e^{1}(x-2)=\frac e2\,x.$$
$$y=\ln x$$
$$f(a)=\ln a, \qquad f'(a)=\frac1a.$$
Условие:
$$\ln a-a\cdot \frac1a=0$$
$$\ln a-1=0,$$
откуда $$a=e.$$
Тогда
$$y=\ln e+\frac1e(x-e)=\frac1e\,x.$$
$$y=e^{x/3}$$
$$f(a)=e^{a/3}, \qquad f'(a)=\frac13 e^{a/3}.$$
Условие:
$$e^{a/3}-a\cdot \frac13 e^{a/3}=0$$
$$e^{a/3}\left(1-\frac a3\right)=0,$$
откуда $$a=3.$$
Тогда
$$y=e+\frac13 e(x-3)=\frac e3\,x.$$
$$y=\ln x^3=3\ln x,\qquad x>0.$$
$$f(a)=3\ln a, \qquad f'(a)=\frac3a.$$
Условие:
$$3\ln a-a\cdot \frac3a=0$$
$$3\ln a-3=0,$$
откуда $$\ln a=1,\ a=e.$$
Тогда
$$y=3\ln e+\frac3e(x-e)=\frac3e\,x.$$