Упр.47.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

у = f(x), которая параллельна данной прямой у = kx + m:
а) f(x) = е^2х, у = 2ех — 5;
б) f(x) = ln (3x + 2), y = x + 7.

1. а) Для касательной, параллельной прямой $$y=2ex-5,$$ её угловой коэффициент должен быть равен $$2e.$$

   Найдём производную функции:

   $$f(x)=e^{2x}, \qquad f'(x)=2e^{2x}.$$

   Пусть точка касания имеет абсциссу $$x_0.$$ Тогда

   $$2e^{2x_0}=2e,$$

   $$e^{2x_0}=e,$$

   $$2x_0=1,\qquad x_0=\frac12.$$

   Найдём ординату точки касания:

   $$f\!\left(\frac12\right)=e^{2\cdot \frac12}=e.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$

   $$y=2e\left(x-\frac12\right)+e=2ex-e+e=2ex.$$

2. б) Для прямой $$y=x+7$$ угловой коэффициент равен $$1.$$

   Найдём производную функции:

   $$f(x)=\ln(3x+2), \qquad f'(x)=\frac{3}{3x+2}.$$

   Приравняем производную к угловому коэффициенту касательной:

   $$\frac{3}{3x_0+2}=1,$$

   $$3x_0+2=3,$$

   $$3x_0=1,\qquad x_0=\frac13.$$

   Найдём значение функции в точке касания:

   $$f\!\left(\frac13\right)=\ln\!\left(3\cdot \frac13+2\right)=\ln 3.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$

   $$y=1\left(x-\frac13\right)+\ln 3=x-\frac13+\ln 3.$$

Ответ

а) $$y=2ex$$; б) $$y=x-\frac13+\ln 3$$.