Упр.47.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = х + ln (-x), [-4, -0,5];
б) у = х + е^-х, [-ln 4, ln 2]

а) Рассмотрим функцию $$y=x+\ln(-x)$$ на отрезке $$[-4;\,-0{,}5].$$

Найдём производную:

$$y’=(x+\ln(-x))’=1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}.$$

Критическая точка: $$y’=0 \iff x=-1.$$

На отрезке $$[-4;\,-0{,}5]$$ функция возрастает на $$[-4;\,-1]$$ и убывает на $$[-1;\,-0{,}5].$$ Значит, в точке $$x=-1$$ достигается наибольшее значение.

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$y(-4)=-4+\ln 4,$$

$$y(-1)=-1+\ln 1=-1,$$

$$y(-0{,}5)=-0{,}5+\ln 0{,}5=-0{,}5-\ln 2.$$

Сравним значения на концах: $$-0{,}5-\ln 2<-1?$$ Нет, так как $$-0{,}5-\ln 2>-4+\ln 4,$$ поэтому наименьшее значение достигается в точке $$x=-4.$$

Следовательно,

$$y_{\max}=-1,\qquad y_{\min}=-4+\ln 4.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=x+e^{-x}$$ на отрезке $$[-\ln 4;\,\ln 2].$$

Найдём производную:

$$y’=(x+e^{-x})’=1-e^{-x}.$$

Критическая точка:

$$y’=0 \iff 1-e^{-x}=0 \iff e^{-x}=1 \iff x=0.$$

На отрезке $$[-\ln 4;\,\ln 2]$$ функция убывает при $$x<0$$ и возрастает при $$x>0,$$ значит, в точке $$x=0$$ достигается наименьшее значение.

Вычислим значения функции:

$$y(-\ln 4)=-\ln 4+e^{\ln 4}=4-\ln 4,$$

$$y(0)=0+e^0=1,$$

$$y(\ln 2)=\ln 2+e^{-\ln 2}=\ln 2+\frac12.$$

Наибольшее значение на отрезке равно значению в левой границе:

$$y_{\max}=4-\ln 4,\qquad y_{\min}=1.$$

Ответ

а) $$y_{\max}=-1,\; y_{\min}=-4+\ln 4.$$
б) $$y_{\max}=4-\ln 4,\; y_{\min}=1.$$