Упр.47.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) y = xe^(2x — 1), a = 1/2;
б) y = (x^2 — 1) / (e^(3 — x)), a = 2;
в) у = x^3 ln x, a = e;
г) y = (2x + 1) e^(1 — 2x), a = 1/2.

1. Для уравнения касательной используем формулу:

   $$y=f'(a)(x-a)+f(a).$$

2. а) $$f(x)=xe^{2x-1}, \quad a=\frac12.$$

   $$f\!\left(\frac12\right)=\frac12\cdot e^{2\cdot \frac12-1}=\frac12,$$
   $$f'(x)=(xe^{2x-1})’=e^{2x-1}+2xe^{2x-1}=e^{2x-1}(1+2x),$$
   $$f’\!\left(\frac12\right)=e^{0}(1+1)=2.$$

   $$y=2\left(x-\frac12\right)+\frac12=2x-\frac12.$$

3. б) $$f(x)=\frac{x^2-1}{e^{3-x}}, \quad a=2.$$

   $$f(2)=\frac{4-1}{e^{1}}=\frac{3}{e},$$
   $$f'(x)=\frac{(x^2-1)’e^{3-x}-(x^2-1)(e^{3-x})’}{(e^{3-x})^2} =\frac{2x e^{3-x}+(x^2-1)e^{3-x}}{(e^{3-x})^2} =\frac{x^2+2x-1}{e^{3-x}},$$
   $$f'(2)=\frac{4+4-1}{e}=\frac{7}{e}.$$

   $$y=\frac{7}{e}(x-2)+\frac{3}{e}=\frac{7x-11}{e}.$$

4. в) $$f(x)=x^3\ln x, \quad a=e.$$

   $$f(e)=e^3\ln e=e^3,$$
   $$f'(x)=(x^3\ln x)’=3x^2\ln x+x^3\cdot \frac1x=x^2(3\ln x+1),$$
   $$f'(e)=e^2(3\cdot 1+1)=4e^2.$$

   $$y=4e^2(x-e)+e^3=4e^2x-4e^3+e^3=4e^2x-3e^3.$$

5. г) $$f(x)=(2x+1)e^{1-2x}, \quad a=\frac12.$$

   $$f\!\left(\frac12\right)=(2\cdot \frac12+1)e^{1-2\cdot \frac12}=2,$$
   $$f'(x)=2e^{1-2x}+(2x+1)(-2)e^{1-2x}=-4xe^{1-2x},$$
   $$f’\!\left(\frac12\right)=-4\cdot \frac12 \cdot e^{0}=-2.$$

   $$y=-2\left(x-\frac12\right)+2=-2x+3.$$

Ответ

а) $$y=2x-\frac12$$;
б) $$y=\frac{7x-11}{e}$$;
в) $$y=4e^2x-3e^3$$;
г) $$y=-2x+3$$.