Упр.47.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = х^2 ln х;
б) у = 3 ln х + sin 2х;
в) у = x / ln x;
г) у = 2 cos x/2 — 5 ln х.

1. $$y=x^2\ln x$$
   По правилу производной произведения:
   $$y’=(x^2)’\ln x+x^2(\ln x)’=2x\ln x+x^2\cdot\frac{1}{x}=2x\ln x+x=x(2\ln x+1).$$
2. $$y=3\ln x+\sin 2x$$
   Тогда
   $$y’=3(\ln x)’+(\sin 2x)’=3\cdot\frac{1}{x}+2\cos 2x=\frac{3}{x}+2\cos 2x.$$
3. $$y=\frac{x}{\ln x}$$
   По формуле производной частного:
   $$y’=\frac{(x)’\ln x-x(\ln x)’}{\ln^2 x}=\frac{1\cdot\ln x-x\cdot\frac{1}{x}}{\ln^2 x}=\frac{\ln x-1}{\ln^2 x}.$$
4. $$y=2\cos\frac{x}{2}-5\ln x$$
   Тогда
   $$y’=2\left(\cos\frac{x}{2}\right)’-5(\ln x)’=2\left(-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}\right)-5\cdot\frac{1}{x}=-\sin\frac{x}{2}-\frac{5}{x}.$$

Ответ

а) $$x(2\ln x+1)$$;
б) $$\frac{3}{x}+2\cos 2x$$;
в) $$\frac{\ln x-1}{\ln^2 x}$$;
г) $$-\sin\frac{x}{2}-\frac{5}{x}$$.