Упр.47.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) [-1; 1];
б) [-3; 1];
в) [-3; -1];
г) [1; 3].

Рассмотрим функцию $$y=x^2e^x.$$ Найдём её производную:

$$ y’=(x^2e^x)’=2xe^x+x^2e^x=e^x x(x+2). $$

Так как $$e^x>0$$ при любом $$x,$$ знак производной определяется выражением $$x(x+2).$$

Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=0.$$

1. На отрезке $$[-1;1]$$ проверяем точки $$x=-1,0,1$$:

   $$ y(-1)=(-1)^2e^{-1}=\frac1e,\quad y(0)=0,\quad y(1)=e. $$

   Значит, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=e.$$

2. На отрезке $$[-3;1]$$ проверяем точки $$x=-3,-2,0,1$$:

   $$ y(-3)=9e^{-3}=\frac9{e^3},\quad y(-2)=4e^{-2}=\frac4{e^2},\quad y(0)=0,\quad y(1)=e. $$

   Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=e.$$

3. На отрезке $$[-3;-1]$$ проверяем точки $$x=-3,-2,-1$$:

   $$ y(-3)=\frac9{e^3},\quad y(-2)=\frac4{e^2},\quad y(-1)=\frac1e. $$

   Наименьшее значение: $$\frac9{e^3},$$ наибольшее значение: $$\frac1e.$$

4. На отрезке $$[1;3]$$ проверяем точки $$x=1,3$$:

   $$ y(1)=e,\quad y(3)=9e^3. $$

   Значит, $$y_{\min}=e,$$ $$y_{\max}=9e^3.$$

Ответ

а) $$0; e$$

б) $$0; e$$

в) $$\frac9{e^3}; \frac1e$$

г) $$e; 9e^3$$