Упр.47.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = х^2 е^х;
б) у = хе^(2х — 4);
в) у = х^3 е^х;
г) у = e^x / x.
а) $$y=x^2e^x$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}$$.
Найдём производную:
$$ y’=(x^2e^x)’=2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2). $$
Так как $$e^x>0$$ при всех $$x$$, знак $$y’$$ определяется выражением $$x(x+2)$$.
Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=0$$.
$$ y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty),\\ y'<0 \text{ при } x\in(-2;0). $$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]$$ и $$[0;+\infty)$$, убывает на $$[-2;0]$$.
Экстремумы:
$$ y(-2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2},\qquad y(0)=0. $$
В точке $$x=-2$$ — локальный максимум, в точке $$x=0$$ — локальный минимум.
б) $$y=xe^{2x-4}$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}$$.
Найдём производную:
$$ y’=(xe^{2x-4})’=e^{2x-4}+2xe^{2x-4}=e^{2x-4}(1+2x). $$
Так как $$e^{2x-4}>0$$, знак $$y’$$ определяется выражением $$1+2x$$.
Критическая точка: $$x=-\frac12$$.
$$ y'<0 \text{ при } x\in(-\infty;-\tfrac12),\qquad y’>0 \text{ при } x\in(-\tfrac12;+\infty). $$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-\frac12]$$ и возрастает на $$[-\frac12;+\infty)$$.
В точке минимума:
$$ y\!\left(-\frac12\right)=-\frac12\,e^{-5}=-\frac{1}{2e^5}. $$
в) $$y=x^3e^x$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}$$.
Найдём производную:
$$ y’=(x^3e^x)’=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(x+3). $$
Так как $$x^2e^x\ge 0$$, знак производной определяется множителем $$x+3$$.
Критические точки: $$x=-3$$ и $$x=0$$.
$$ y'<0 \text{ при } x\in(-\infty;-3),\qquad y’>0 \text{ при } x\in(-3;0)\cup(0;+\infty). $$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-3]$$ и возрастает на $$[-3;+\infty)$$.
В точке минимума:
$$ y(-3)=(-3)^3e^{-3}=-\frac{27}{e^3}. $$
г) $$y=\frac{e^x}{x}$$
Область определения: $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.
Найдём производную:
$$ y’=\left(\frac{e^x}{x}\right)’=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}. $$
Так как $$e^x>0$$ и $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, знак $$y’$$ определяется выражением $$x-1$$.
Критическая точка: $$x=1$$.
$$ y'<0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(0;1),\qquad y’>0 \text{ при } x\in(1;+\infty). $$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$.
В точке минимума:
$$ y(1)=e. $$
Ответ
а) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;+\infty)$$, убывает на $$[-2;0]$$; максимум при $$x=-2$$, $$y=\frac{4}{e^2}$$, минимум при $$x=0$$, $$y=0$$.
б) убывает на $$(-\infty;-\frac12]$$, возрастает на $$[-\frac12;+\infty)$$; минимум при $$x=-\frac12$$, $$y=-\frac{1}{2e^5}$$.
в) убывает на $$(-\infty;-3]$$, возрастает на $$[-3;+\infty)$$; минимум при $$x=-3$$, $$y=-\frac{27}{e^3}$$.
г) убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1]$$, возрастает на $$[1;+\infty)$$; минимум при $$x=1$$, $$y=e$$.
