Упр.47.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) y = е^(3x — 1), а = 1/3;
б) у = хе^(-2х + 1), а = 0,5;
в) у = 2 / e^x, а = 0;
г) у = е^x / (x + 1), а = 0.

1. Для касательной в точке с абсциссой $$x=a$$ используем формулу:

   $$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

2. а) $$y=e^{3x-1}, \quad a=\frac13$$

   $$f\!\left(\frac13\right)=e^{3\cdot \frac13-1}=e^0=1,$$
   $$f'(x)=3e^{3x-1}, \quad f’\!\left(\frac13\right)=3e^0=3.$$

   $$y=1+3\left(x-\frac13\right)=3x.$$

3. б) $$y=xe^{-2x+1}, \quad a=0{,}5$$

   $$f(0{,}5)=0{,}5\cdot e^{-2\cdot 0{,}5+1}=0{,}5,$$
   $$f'(x)=e^{-2x+1}-2xe^{-2x+1}=e^{-2x+1}(1-2x),$$
   $$f'(0{,}5)=e^0(1-1)=0.$$

   $$y=0{,}5+0\cdot (x-0{,}5)=0{,}5.$$

4. в) $$y=\frac{2}{e^x}, \quad a=0$$

   $$f(0)=\frac{2}{e^0}=2,$$
   $$f'(x)=2(e^{-x})’=-2e^{-x}, \quad f'(0)=-2.$$

   $$y=2-2(x-0)=2-2x.$$

5. г) $$y=\frac{e^x}{x+1}, \quad a=0$$

   $$f(0)=\frac{e^0}{0+1}=1,$$
   $$f'(x)=\frac{(e^x)'(x+1)-e^x(x+1)’}{(x+1)^2} =\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2} =\frac{xe^x}{(x+1)^2},$$
   $$f'(0)=0.$$

   $$y=1+0\cdot (x-0)=1.$$

Ответ

а) $$y=3x$$; б) $$y=0{,}5$$; в) $$y=2-2x$$; г) $$y=1$$.