Упр.46.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log3 x + 1 = 2 logx 3;
6) 2 logx 5 — 3 = -log5 x;
в) log7 x — 1 = 6 logx 7;
г) log2 x + 9 logx 2 = 10.

1. а) $$\log_3 x+1=2\log_x 3$$

   По формуле перехода к новому основанию:

   $$\log_x 3=\frac{1}{\log_3 x}$$

   Пусть $$y=\log_3 x$$, тогда

   $$y+1=\frac{2}{y}$$

   $$y^2+y-2=0$$

   $$\left(y+2\right)\left(y-1\right)=0$$

   $$y_1=-2,\quad y_2=1$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\frac{1}{9}$$

   $$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3$$

2. б) $$2\log_x 5-3=-\log_5 x$$

   По формуле перехода к новому основанию:

   $$\log_x 5=\frac{1}{\log_5 x}$$

   Пусть $$y=\log_5 x$$, тогда

   $$\frac{2}{y}-3=-y$$

   $$y^2-3y+2=0$$

   $$\left(y-1\right)\left(y-2\right)=0$$

   $$y_1=1,\quad y_2=2$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_5 x=1 \Rightarrow x=5$$

   $$\log_5 x=2 \Rightarrow x=25$$

3. в) $$\log_7 x-1=6\log_x 7$$

   По формуле перехода к новому основанию:

   $$\log_x 7=\frac{1}{\log_7 x}$$

   Пусть $$y=\log_7 x$$, тогда

   $$y-1=\frac{6}{y}$$

   $$y^2-y-6=0$$

   $$\left(y-3\right)\left(y+2\right)=0$$

   $$y_1=3,\quad y_2=-2$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_7 x=3 \Rightarrow x=343$$

   $$\log_7 x=-2 \Rightarrow x=\frac{1}{49}$$

4. г) $$\log_2 x+9\log_x 2=10$$

   По формуле перехода к новому основанию:

   $$\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}$$

   Пусть $$y=\log_2 x$$, тогда

   $$y+\frac{9}{y}=10$$

   $$y^2-10y+9=0$$

   $$\left(y-1\right)\left(y-9\right)=0$$

   $$y_1=1,\quad y_2=9$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2$$

   $$\log_2 x=9 \Rightarrow x=512$$

Ответ

а) $$\frac{1}{9};\ 3$$

б) $$5;\ 25$$

в) $$\frac{1}{49};\ 343$$

г) $$2;\ 512$$