Упр.45.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log8 (x^2 — 7x) > 1;
6) log1/2 (x^2 + 0,5x) < = 1; РІ) log2 (x^2 - 6x + 24) < 4; Рі) log1/3 (-x^2 + 10x/9) > = 2.

а) $$\log_8(x^2-7x)>1$$

Так как $$8>1$$, то

$$x^2-7x>8.$$

Получаем:

$$x^2-7x-8>0$$

$$ (x+1)(x-8)>0.$$

Отсюда

$$x<-1 \text{ или } x>8.$$

Проверка ОДЗ: $$x^2-7x>0$$ выполняется на найденных промежутках.

б) $$\log_{\frac12}(x^2+0{,}5x)\le 1$$

Так как $$0<\frac12<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

$$x^2+0{,}5x\ge \left(\frac12\right)^1=\frac12.$$

Тогда

$$x^2+\frac12x-\frac12\ge 0$$

$$2x^2+x-1\ge 0$$

$$ (2x-1)(x+1)\ge 0.$$

Следовательно,

$$x\le -1 \text{ или } x\ge \frac12.$$

На этих промежутках выполняется и ОДЗ: $$x^2+0{,}5x>0.$$

в) $$\log_2(x^2-6x+24)<4$$

Так как $$2>1$$, то

$$x^2-6x+24<2^4=16.$$

Получаем:

$$x^2-6x+8<0$$

$$ (x-2)(x-4)<0.$$

Отсюда

$$2<x<4.$$

ОДЗ: $$x^2-6x+24>0$$ выполняется при всех $$x$$.

г) $$\log_{\frac13}\left(-x^2+\frac{10x}{9}\right)\ge 2$$

Так как $$0<\frac13<1$$, знак неравенства меняется:

$$-x^2+\frac{10x}{9}\le \left(\frac13\right)^2=\frac19.$$

Тогда

$$-x^2+\frac{10x}{9}-\frac19\le 0$$

$$9x^2-10x+1\ge 0$$

$$ (9x-1)(x-1)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\le \frac19 \text{ или } x\ge 1.$$

Теперь учтём ОДЗ:

$$-x^2+\frac{10x}{9}>0$$

$$x\left(\frac{10}{9}-x\right)>0$$

$$0<x<\frac{10}{9}.$$

Пересечение даёт:

$$0<x\le \frac19 \text{ или } 1\le x<\frac{10}{9}.$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-1)\cup(8;+\infty)$$; б) $$x\in(-\infty;-1]\cup\left[\frac12;+\infty\right)$$; в) $$x\in(2;4)$$; г) $$x\in\left(0;\frac19\right]\cup\left[1;\frac{10}{9}\right).$$