Упр.45.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log5 (3x + 1) < 2; Р±) log0,5 x/3 > = -2;
РІ) log1/4 x/5 > 1;
Рі) logкорень(3) (2x — 3) < 4.

1. а) $$\log_5(3x+1)<2$$

   Так как $$5>1,$$ то

   $$ 3x+1<5^2=25 $$

   $$ 3x<24,\quad x<8 $$

   С учётом области определения:

   $$ 3x+1>0,\quad x>-\frac13 $$

   $$ -\frac13<x<8 $$

2. б) $$\log_{0,5}\frac{x}{3}\ge -2$$

   Так как $$0<0,5<1,$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

   $$ \frac{x}{3}\le (0,5)^{-2}=4 $$

   С учётом ОДЗ:

   $$ \frac{x}{3}>0,\quad x>0 $$

   $$ x\le 12 $$

   $$ 0<x\le 12 $$

3. в) $$\log_{\frac14}\frac{x}{5}>1$$

   Так как $$0<\frac14<1,$$ знак неравенства меняется:

   $$ \frac{x}{5}<\left(\frac14\right)^1=\frac14 $$

   С учётом ОДЗ:

   $$ \frac{x}{5}>0,\quad x>0 $$

   $$ x<\frac54 $$

   $$ 0<x<\frac54 $$

4. г) $$\log_{\sqrt3}(2x-3)<4$$

   Так как $$\sqrt3>1,$$ получаем:

   $$ 2x-3<(\sqrt3)^4=9 $$

   С учётом ОДЗ:

   $$ 2x-3>0,\quad x>\frac32 $$

   $$ 2x<12,\quad x<6 $$

   $$ \frac32<x<6 $$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac13;8\right)$$;
б) $$x\in(0;12]$$;
в) $$x\in\left(0;\frac54\right)$$;
г) $$x\in\left(\frac32;6\right)$$.