Упр.45.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
log0,1 (x^2 — 12) < log0,1 (-x), 2^(x - 1) > 1/8;
б) система
3^(x^2 — 5x — 4) < 9, log1/5 (x^2 + 3) > = lg1/5 4x.

а) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \log_{0,1}(x^2-12) < \log_{0,1}(-x),\\ 2^{x-1} > \dfrac18. \end{cases} $$

Так как основание логарифма $$0,1<1$$, то знак неравенства при сравнении аргументов меняется:

$$ x^2-12 > -x. $$

Получаем

$$ x^2+x-12>0, $$
$$ (x+4)(x-3)>0, $$
$$ x<-4 \text{ или } x>3. $$

Второе неравенство:

$$ 2^{x-1} > \frac18 = 2^{-3}, $$
$$ x-1>-3, $$
$$ x>-2. $$

Область допустимых значений для первого неравенства:

$$ x^2-12>0,\qquad -x>0, $$
$$ x<-2\sqrt3 \text{ или } x>2\sqrt3,\qquad x<0. $$

Пересечение условий:

$$ (x<-4 \text{ или } x>3)\cap (x>-2)\cap (x<-2\sqrt3 \text{ или } x>2\sqrt3)\cap (x<0)=\varnothing. $$

б) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} 3^{x^2-5x-4} < 9,\\ \log_{1/5}(x^2+3) \ge \log_{1/5}(4x). \end{cases} $$

Так как $$9=3^2$$ и основание $$3>1$$, то

$$ x^2-5x-4<2, $$
$$ x^2-5x-6<0, $$
$$ (x+1)(x-6)<0, $$
$$ -1<x<6. $$

Для второго неравенства, так как основание $$\frac15<1$$, знак меняется:

$$ x^2+3 \le 4x, $$
$$ x^2-4x+3\le 0, $$
$$ (x-1)(x-3)\le 0, $$
$$ 1\le x\le 3. $$

Область допустимых значений: $$4x>0$$, значит $$x>0$$. Это условие уже входит в найденный промежуток.

Пересечение решений:

$$ (-1,6)\cap [1,3]=[1,3]. $$

Ответ

а) $$\varnothing$$; б) $$[1;3]$$.