Упр.45.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
log3 x^2 > log3 125 — log3 5,
log0,2 (x — 1) < 0; б) система log1/2 x^2 > = log1/2 28 — log1/2 7,
log3 (4x — 1) > 0.

а) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \log_3 x^2 > \log_3 125 — \log_3 5,\\ \log_{0,2}(x-1) < 0. \end{cases} $$

Преобразуем первое неравенство:

$$ \log_3 125 — \log_3 5=\log_3 \frac{125}{5}=\log_3 25, $$

тогда

$$ \log_3 x^2 > \log_3 25 \;\Rightarrow\; x^2>25. $$

С учётом области определения получаем:

$$ x>5 \quad \text{или} \quad x<-5. $$

Второе неравенство:

$$ \log_{0,2}(x-1)<0=\log_{0,2}1. $$

Так как основание $0,2<1$, знак неравенства меняется:

$$ x-1>1 \;\Rightarrow\; x>2. $$

Пересекаем решения:

$$ (x>5 \text{ или } x<-5)\cap(x>2)=x>5. $$

б) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \log_{\frac12} x^2 \ge \log_{\frac12} 28 — \log_{\frac12} 7,\\ \log_3(4x-1) > 0. \end{cases} $$

Преобразуем первое неравенство:

$$ \log_{\frac12} 28 — \log_{\frac12} 7=\log_{\frac12}\frac{28}{7}=\log_{\frac12}4. $$

Так как основание $\frac12<1$, знак неравенства меняется:

$$ \log_{\frac12} x^2 \ge \log_{\frac12}4 \;\Rightarrow\; x^2 \le 4. $$

С учётом области определения:

$$ -2 \le x \le 2,\quad x\ne 0. $$

Второе неравенство:

$$ \log_3(4x-1)>0=\log_3 1. $$

Так как основание $3>1$, получаем:

$$ 4x-1>1 \;\Rightarrow\; 4x>2 \;\Rightarrow\; x>\frac12. $$

Пересекаем решения:

$$ \left((-2\le x\le 2)\setminus\{0\}\right)\cap\left(x>\frac12\right)=\frac12<x\le 2. $$

Ответ

а) $$x\in(5;+\infty)$$

б) $$x\in\left(\frac12;2\right]$$