Упр.45.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
log2 (2 + 3) > log2 (x — 2),
log6 (3 — 1) < = log6 (9x + 4); б) система log3 (6x - 1) < = log3(9x + 11), log6 (3 - x) > log6 (4x — 1).

а) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \log_2(2x+3) > \log_2(x-2),\\ \log_6(3x-1) \le \log_6(9x+4). \end{cases} $$

Так как основания логарифмов больше $$1$$, сравниваем подлогарифмические выражения:

$$ \begin{cases} 2x+3 > x-2,\\ 3x-1 \le 9x+4. \end{cases} $$

Получаем:

$$ \begin{cases} x > -5,\\ -6x \le 5. \end{cases} $$

Теперь учтём область допустимых значений:

$$ \begin{cases} 2x+3 > 0,\\ x-2 > 0,\\ 3x-1 > 0,\\ 9x+4 > 0. \end{cases} $$

Отсюда:

$$ x > -\frac{3}{2},\quad x > 2,\quad x > \frac{1}{3},\quad x > -\frac{4}{9}. $$

Пересечение всех условий даёт:

$$ x > 2. $$

б) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \log_3(6x-1) \le \log_3(9x+11),\\ \log_6(3-x) > \log_6(4x-1). \end{cases} $$

Так как основания логарифмов больше $$1$$, получаем:

$$ \begin{cases} 6x-1 \le 9x+11,\\ 3-x > 4x-1. \end{cases} $$

Решаем неравенства:

$$ \begin{cases} -3x \le 12,\\ -5x > -4. \end{cases} $$

То есть

$$ \begin{cases} x \ge -4,\\ x < \frac{4}{5}. \end{cases} $$

Учтём область допустимых значений:

$$ \begin{cases} 6x-1 > 0,\\ 9x+11 > 0,\\ 3-x > 0,\\ 4x-1 > 0. \end{cases} $$

Отсюда:

$$ x > \frac{1}{6},\quad x > -\frac{11}{9},\quad x < 3,\quad x > \frac{1}{4}. $$

Пересечение всех условий:

$$ \frac{1}{4} < x < \frac{4}{5}. $$

Ответ

а) $$x > 2$$;
б) $$\frac{1}{4} < x < \frac{4}{5}$$.