Упр.45.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) log12 (x^2 — х) < = 1; б) log1/2 (х^2 - 10x + 9) > = 0;
в) log9 (x^2 — 8x) < = 1; г) log0,3 (-x^2 + 7х - 5) < 0?

1. а) $$\log_{12}(x^2-x)\le 1$$

   Так как $$12>1$$, получаем:

   $$x^2-x\le 12.$$

   Одновременно должно выполняться условие области определения:

   $$x^2-x>0.$$

   Решим неравенство:

   $$x^2-x-12\le 0$$

   $$ (x+3)(x-4)\le 0 $$

   $$-3\le x\le 4.$$

   ОДЗ:

   $$x(x-1)>0 \;\Rightarrow\; x<0 \text{ или } x>1.$$

   Пересечение с $$[-3;4]$$ даёт целые числа:

   $$x=-3,-2,-1,2,3,4.$$

2. б) $$\log_{\frac12}(x^2-10x+9)\ge 0$$

   Так как $$0<\frac12<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

   $$x^2-10x+9\le 1.$$

   Получаем:

   $$x^2-10x+8\le 0$$

   $$D=100-32=68,$$

   $$x_{1,2}=5\pm \sqrt{17}.$$

   Значит,

   $$5-\sqrt{17}\le x\le 5+\sqrt{17}.$$

   ОДЗ:

   $$x^2-10x+9>0$$

   $$ (x-1)(x-9)>0 \;\Rightarrow\; x<1 \text{ или } x>9.$$

   Пересечение с $$[5-\sqrt{17};\,5+\sqrt{17}]$$ не содержит целых чисел.

3. в) $$\log_9(x^2-8x)\le 1$$

   Так как $$9>1$$, имеем:

   $$x^2-8x\le 9.$$

   Тогда

   $$x^2-8x-9\le 0$$

   $$ (x+1)(x-9)\le 0 \;\Rightarrow\; -1\le x\le 9.$$

   ОДЗ:

   $$x^2-8x>0$$

   $$x(x-8)>0 \;\Rightarrow\; x<0 \text{ или } x>8.$$

   Пересечение даёт целые решения:

   $$x=-1,9.$$

4. г) $$\log_{0.3}(-x^2+7x-5)<0$$

   Так как $$0<0.3<1$$, то

   $$-x^2+7x-5>1.$$

   Получаем:

   $$-x^2+7x-6>0$$

   $$x^2-7x+6<0$$

   $$ (x-1)(x-6)<0 \;\Rightarrow\; 1<x<6.$$

   Целые решения:

   $$x=2,3,4,5.$$

Ответ

а) 6; б) 0; в) 2; г) 4.