Упр.45.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) log2^2 x^2 — 15 log2 x — 4 < = 0; б) log1/3^2 х^2 - 7 log1/3 x + 3 < = 0; в) log3^2 x^2 + 13 log3 x + 3 < 0; г) log1/5^2 x^2 - 31 log1/5 x - 8 < 0.
а) Пусть $$y=\log_2 x$$. Тогда
$$4y^2-15y-4\le 0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=15^2+4\cdot 4\cdot 4=289,$$
$$y_1=\frac{15-17}{8}=-\frac14,\qquad y_2=\frac{15+17}{8}=4.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$-\frac14\le y\le 4.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$-\frac14\le \log_2 x\le 4.$$
Отсюда
$$2^{-1/4}\le x\le 2^4,$$
то есть
$$\sqrt[4]{\frac12}\le x\le 16.$$
б) Пусть $$y=\log_{\frac13} x$$. Тогда
$$4y^2-7y+3\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=7^2-4\cdot 4\cdot 3=1,$$
$$y_1=\frac{7-1}{8}=\frac34,\qquad y_2=\frac{7+1}{8}=1.$$
Следовательно,
$$\frac34\le y\le 1.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\frac34\le \log_{\frac13} x\le 1.$$
Так как основание $$\frac13<1$$, получаем
$$\frac13\le x\le \frac{1}{\sqrt[4]{27}}.$$
в) Пусть $$y=\log_3 x$$. Тогда
$$4y^2+13y+3<0.$$
Найдём корни:
$$D=13^2-4\cdot 4\cdot 3=121,$$
$$y_1=\frac{-13-11}{8}=-3,\qquad y_2=\frac{-13+11}{8}=-\frac14.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$-3<y<-\frac14.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$-3<\log_3 x<-\frac14.$$
Отсюда
$$\frac1{27}<x<\frac1{\sqrt[4]{3}}.$$
г) Пусть $$y=\log_{\frac15} x$$. Тогда
$$4y^2-31y-8<0.$$
Найдём корни:
$$D=31^2+4\cdot 4\cdot 8=1089,$$
$$y_1=\frac{31-33}{8}=-\frac14,\qquad y_2=\frac{31+33}{8}=8.$$
Следовательно,
$$-\frac14<y<8.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$-\frac14<\log_{\frac15} x<8.$$
Так как основание $$\frac15<1$$, получаем
$$\frac1{5^8}<x<\sqrt[4]{5}.$$
Ответ
а) $$x\in\left[\sqrt[4]{\frac12};\,16\right]$$; б) $$x\in\left[\frac13;\,\frac1{\sqrt[4]{27}}\right]$$; в) $$x\in\left(\frac1{27};\,\frac1{\sqrt[4]{3}}\right)$$; г) $$x\in\left(\frac1{5^8};\,\sqrt[4]{5}\right)$$.
