Упр.44.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 2log5^2 x + 5log5 x + 2 = 0;
б) 3log4^2 x — 7log4 x + 2 = 0;
в) 2log0,3^2 x — 7log0,3 x — 4 = 0;
г) 3log1/2^2 x + 5log1/2 х — 2 = 0.

а) Пусть $$y=\log_5 x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$2y^2+5y+2=0$$

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$$

$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{2\cdot 2}$$

$$y_1=-2,\quad y_2=-\frac12$$

Тогда

$$\log_5 x=-2 \Rightarrow x=5^{-2}=\frac1{25}$$

$$\log_5 x=-\frac12 \Rightarrow x=5^{-1/2}=\frac1{\sqrt5}$$

б) Пусть $$y=\log_4 x$$. Тогда:

$$3y^2-7y+2=0$$

$$D=7^2-4\cdot 3\cdot 2=49-24=25$$

$$y_{1,2}=\frac{7\pm 5}{2\cdot 3}$$

$$y_1=\frac13,\quad y_2=2$$

Следовательно,

$$\log_4 x=\frac13 \Rightarrow x=4^{1/3}=\sqrt[3]{4}$$

$$\log_4 x=2 \Rightarrow x=4^2=16$$

в) Пусть $$y=\log_{0,3} x$$. Тогда:

$$2y^2-7y-4=0$$

$$D=7^2+4\cdot 2\cdot 4=49+32=81$$

$$y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2\cdot 2}$$

$$y_1=-\frac12,\quad y_2=4$$

Тогда

$$\log_{0,3} x=-\frac12 \Rightarrow x=(0,3)^{-1/2}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt3}=\frac{\sqrt{30}}{3}$$

$$\log_{0,3} x=4 \Rightarrow x=(0,3)^4=0,0081$$

г) Пусть $$y=\log_{\frac12} x$$. Тогда:

$$3y^2+5y-2=0$$

$$D=5^2+4\cdot 3\cdot 2=25+24=49$$

$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2\cdot 3}$$

$$y_1=\frac13,\quad y_2=-2$$

Следовательно,

$$\log_{\frac12} x=\frac13 \Rightarrow x=\left(\frac12\right)^{1/3}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$$

$$\log_{\frac12} x=-2 \Rightarrow x=\left(\frac12\right)^{-2}=4$$

Ответ

а) $$\frac1{25},\ \frac1{\sqrt5}$$; б) $$\sqrt[3]{4},\ 16$$; в) $$\frac{\sqrt{30}}{3},\ 0,0081$$; г) $$\frac{\sqrt[3]{4}}{2},\ 4$$.