Упр.44.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log2^2 x — 4log2 x + 3 = 0;
Р±) log4^2 x — log4 x — 2 = 0;
РІ) log1/2^2 x + 3log1/2 x + 2 = 0;
Рі) log0,2^2 x + log0,2 x — 6 = 0.

1. а) Пусть $$y=\log_2 x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

   $$y^2-4y+3=0$$

   $$ (y-1)(y-3)=0 $$

   $$ y_1=1,\quad y_2=3 $$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2$$

   $$\log_2 x=3 \Rightarrow x=8$$

2. б) Пусть $$y=\log_4 x$$. Тогда:

   $$y^2-y-2=0$$

   $$ (y+1)(y-2)=0 $$

   $$ y_1=-1,\quad y_2=2 $$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_4 x=-1 \Rightarrow x=4^{-1}=\frac14$$

   $$\log_4 x=2 \Rightarrow x=4^2=16$$

3. в) Пусть $$y=\log_{\frac12} x$$. Тогда:

   $$y^2+3y+2=0$$

   $$ (y+1)(y+2)=0 $$

   $$ y_1=-1,\quad y_2=-2 $$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_{\frac12} x=-1 \Rightarrow x=\left(\frac12\right)^{-1}=2$$

   $$\log_{\frac12} x=-2 \Rightarrow x=\left(\frac12\right)^{-2}=4$$

4. г) Пусть $$y=\log_{0,2} x$$. Тогда:

   $$y^2+y-6=0$$

   $$ (y+3)(y-2)=0 $$

   $$ y_1=-3,\quad y_2=2 $$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_{0,2} x=-3 \Rightarrow x=(0,2)^{-3}=125$$

   $$\log_{0,2} x=2 \Rightarrow x=(0,2)^2=0,04$$

Ответ

а) $$2; 8$$

б) $$\frac14; 16$$

в) $$2; 4$$

г) $$0,04; 125$$