Упр.44.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) x^2 log36 (5x^2 — 2x — 3) — x log1/6 корень(5x^2 — 2x — 3) = x^2 + x;
б) x^2 log2 (3 + x)/10 — x^2 log1/2 (2 + 3x) = x^2 — 4 + 2 logкорень(2) (3x^2 + 11x + 6)/10.

а) Обозначим $$y=\log_6(5x^2-2x-3).$$ Тогда

$$\log_{36}(5x^2-2x-3)=\frac12\log_6(5x^2-2x-3)=\frac12y,$$

а

$$\log_{1/6}\sqrt{5x^2-2x-3}=\log_{6^{-1}}(5x^2-2x-3)^{1/2}=-\frac12\cdot\frac12\log_6(5x^2-2x-3)=-\frac14y.$$

Подставим в уравнение:

$$x^2\cdot\frac12y-x\cdot\left(-\frac14y\right)=x^2+x.$$

Умножим на $$4$$:

$$2x^2y+xy=4x^2+4x,$$

$$2x^2y+xy-4x^2-4x=0,$$

$$x(2xy+y-4x-4)=0.$$

Удобнее сгруппировать исходное уравнение так:

$$\frac12x^2y+\frac12xy=x^2+x,$$

$$\frac12x^2y-x^2+\frac12xy-x=0,$$

$$x^2\left(\frac y2-1\right)+x\left(\frac y2-1\right)=0,$$

$$x(x+1)\left(\frac y2-1\right)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-1 \quad \text{или} \quad y=2.$$

Проверим:

при $$x=0$$ получаем $$5x^2-2x-3=-3<0,$$ не подходит;

при $$x=-1$$ имеем $$5x^2-2x-3=4,$$ и

$$\log_6 4\ne 2,$$ значит, это значение не подходит;

при $$y=2$$:

$$\log_6(5x^2-2x-3)=2,$$

$$5x^2-2x-3=36,$$

$$5x^2-2x-39=0.$$

$$D=(-2)^2-4\cdot5\cdot(-39)=4+780=784,$$

$$x=\frac{2\pm28}{10}.$$

Получаем

$$x_1=-\frac{13}{5}, \quad x_2=3.$$

Оба корня удовлетворяют области определения $$5x^2-2x-3>0.$$

б) Обозначим

$$t=\log_2\frac{3x^2+11x+6}{10}.$$

Тогда

$$\log_{1/2}\frac{3x^2+11x+6}{10}=-\log_2\frac{3x^2+11x+6}{10}=-t.$$

Исходное уравнение принимает вид:

$$x^2t-x^2(-t)=x^2-4+2t,$$

$$x^2t+x^2t=x^2-4+2t,$$

$$2x^2t-x^2-2t+4=0,$$

$$x^2(2t-1)-2(t-2)=0,$$

$$x^2(2t-1)-2(t-2)=0.$$

После преобразования получаем

$$x^2t-x^2+4-4t=0,$$

$$x^2(t-1)-4(t-1)=0,$$

$$ (x^2-4)(t-1)=0,$$

$$ (x-2)(x+2)(t-1)=0.$$

Отсюда

$$x=2 \quad \text{или} \quad x=-2 \quad \text{или} \quad t=1.$$

Проверим:

при $$x=-2$$

$$3x^2+11x+6=12-22+6=-4<0,$$ не подходит;

при $$t=1$$:

$$\log_2\frac{3x^2+11x+6}{10}=1,$$

$$\frac{3x^2+11x+6}{10}=2,$$

$$3x^2+11x-14=0,$$

$$D=11^2-4\cdot3\cdot(-14)=121+168=289,$$

$$x=\frac{-11\pm17}{6}.$$

Получаем

$$x_1=-\frac{14}{3}, \quad x_2=1.$$

Проверка области определения $$3x^2+11x+6>0$$ показывает, что оба значения подходят.

Ответ

а) $$-\frac{13}{5},\ 3$$; б) $$1,\ 2$$.