Упр.44.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 6^log6^2 x + x^log6 x = 12;
б) 10^lg^2 x + 9x^lg x = 1000.

1. а) $$6^{\log_6^2 x}+x^{\log_6 x}=12$$

   Так как $$6^{\log_6^2 x}=6^{\log_6 x\cdot \log_6 x}=\left(6^{\log_6 x}\right)^{\log_6 x}=x^{\log_6 x},$$

   то уравнение принимает вид

   $$x^{\log_6 x}+x^{\log_6 x}=12,$$

   $$2x^{\log_6 x}=12,$$

   $$x^{\log_6 x}=6.$$

   Пусть $$t=\log_6 x.$$ Тогда $$x=6^t,$$ и

   $$x^{\log_6 x}=(6^t)^t=6^{t^2}=6.$$

   Следовательно,

   $$t^2=1,$$

   $$t=\pm 1.$$

   Тогда

   $$\log_6 x=1 \Rightarrow x=6,$$

   $$\log_6 x=-1 \Rightarrow x=\frac{1}{6}.$$

2. б) $$10^{\lg^2 x}+9x^{\lg x}=1000$$

   Так как $$10^{\lg^2 x}=10^{\lg x\cdot \lg x}=\left(10^{\lg x}\right)^{\lg x}=x^{\lg x},$$

   то получаем

   $$x^{\lg x}+9x^{\lg x}=1000,$$

   $$10x^{\lg x}=1000,$$

   $$x^{\lg x}=100.$$

   Пусть $$u=\lg x.$$ Тогда $$x=10^u,$$ и

   $$x^{\lg x}=(10^u)^u=10^{u^2}=100=10^2.$$

   Значит,

   $$u^2=2,$$

   $$u=\pm \sqrt{2}.$$

   Тогда

   $$\lg x=\sqrt{2} \Rightarrow x=10^{\sqrt{2}},$$

   $$\lg x=-\sqrt{2} \Rightarrow x=10^{-\sqrt{2}}=\frac{1}{10^{\sqrt{2}}}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{1}{6},\ 6$$; б) $$x=\frac{1}{10^{\sqrt{2}}},\ 10^{\sqrt{2}}$$.