Упр.44.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log9 (3^x + 2х — 20) = х — x log9 3;
б) 0,4 lg^2 (x — 1) = 6,25^(-2 — lg x^2).

1. а) Преобразуем правую часть:

   $$x-x\log_9 3=x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}.$$

   Тогда уравнение принимает вид

   $$\log_9(3^x+2x-20)=\frac{x}{2}.$$

   По определению логарифма:

   $$3^x+2x-20=9^{x/2}=3^x.$$

   Отсюда

   $$2x-20=0,$$

   $$x=10.$$

   Проверка области определения: при $$x=10$$ имеем $$3^{10}+20-20>0$$, значит, корень подходит.

2. б) Запишем уравнение в виде с одинаковым основанием:

   $$0{,}4^{(\lg x)^2-1}=6{,}25^{-2-\lg x^2}.$$

   Так как $$0{,}4=\frac{2}{5}$$ и $$6{,}25=\frac{25}{4}=\left(\frac{5}{2}\right)^2,$$ то

   $$6{,}25^{-2-\lg x^2}=0{,}4^{-2(-2-2\lg x)}.$$

   Тогда, при $$x>0,$$ получаем

   $$(\lg x)^2-1=-2(-2-2\lg x).$$

   Обозначим $$t=\lg x$$. Тогда

   $$t^2-1=4+4t,$$

   $$t^2-4t-5=0,$$

   $$ (t-5)(t+1)=0.$$

   Следовательно,

   $$t=5 \quad \text{или} \quad t=-1.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\lg x=5 \Rightarrow x=10^5,$$

   $$\lg x=-1 \Rightarrow x=10^{-1}.$$

   Оба значения удовлетворяют области определения $$x>0$$.

Ответ

а) $$10$$; б) $$10^{-1},\ 10^5$$.