Упр.44.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
(1/2)^2х * (1/З)^-y = 1/27,
log2 2x — log2 y = 2;
б) система
(1/2)^x * (корень(2))^y = log9 3,
log4 y — log4 x = 1.

а) Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} \left(\frac13\right)^{2x}\cdot \left(\frac13\right)^{-y}=\frac1{27},\\ \log_2(2x)-\log_2 y=2. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ \left(\frac13\right)^{2x-y}=\left(\frac13\right)^3, $$
$$ 2x-y=3. $$

Из второго уравнения:

$$ \log_2(2x)-\log_2 y=\log_2\frac{2x}{y}=2, $$
$$ \frac{2x}{y}=4. $$

Тогда

$$ 2x=4y. $$

Решим систему:

$$ \begin{cases} 2x-y=3,\\ 2x=4y. \end{cases} $$

Подставим $$2x=4y$$ в первое уравнение:

$$ 4y-y=3, $$
$$ 3y=3, $$
$$ y=1. $$

Тогда

$$ 2x=4\cdot 1, $$
$$ x=2. $$

Проверка области допустимых значений: $$x>0,\ y>0$$, найденная пара подходит.

б) Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} \left(\frac12\right)^x\cdot (\sqrt2)^y=\log_9 3,\\ \log_4 y-\log_4 x=1. \end{cases} $$

Так как $$\log_9 3=\frac12$$, первое уравнение перепишем так:

$$ \left(\frac12\right)^x\cdot \left(\frac12\right)^{-y/2}=\frac12, $$
$$ \left(\frac12\right)^{x-\frac y2}=\frac12, $$
$$ x-\frac y2=1. $$

Из второго уравнения:

$$ \log_4 y-\log_4 x=\log_4\frac{y}{x}=1, $$
$$ \frac{y}{x}=4, $$
$$ y=4x. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ x-\frac{4x}{2}=1, $$
$$ x-2x=1, $$
$$ -x=1, $$
$$ x=-1. $$

Тогда

$$ y=4\cdot(-1)=-4. $$

Но для логарифмов должно быть $$x>0$$ и $$y>0$$. Полученная пара этим условиям не удовлетворяет, значит, решений нет.

Ответ

а) $$\left(2;1\right)$$; б) решений нет.