Упр.44.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
log5 (x + y) = 1,
log6 x + log6 y = 1;
б) система
log0,5 (x + 2у) = log0,5 (3x + y),
log7 (x^2 — у) = log7 x.

а) Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} \log_5(x+y)=1,\\ \log_6 x+\log_6 y=1. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ x+y=5. $$

Из второго уравнения:

$$ \log_6 x+\log_6 y=\log_6(xy)=1, $$

значит

$$ xy=6. $$

Тогда получаем систему

$$ \begin{cases} x+y=5,\\ xy=6. \end{cases} $$

Подставим $$y=5-x$$:

$$ x(5-x)=6, $$

$$ x^2-5x+6=0, $$

$$ (x-2)(x-3)=0. $$

Отсюда $$x=2$$ или $$x=3$$. Тогда

$$ y=5-2=3,\qquad y=5-3=2. $$

Пары $$ (2;3) $$ и $$ (3;2) $$ удовлетворяют области допустимых значений: $$x>0,\ y>0$$.

б) Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} \log_{0,5}(x+2y)=\log_{0,5}(3x+y),\\ \log_7(x^2-y)=\log_7 x. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ x+2y=3x+y, $$

$$ y=2x. $$

Из второго уравнения:

$$ x^2-y=x. $$

Подставим $$y=2x$$:

$$ x^2-2x=x, $$

$$ x^2-3x=0, $$

$$ x(x-3)=0. $$

С учётом области допустимых значений $$x>0$$ получаем $$x=3$$. Тогда

$$ y=2\cdot 3=6. $$

Пара $$ (0;0) $$ не подходит, так как $$x>0$$.

Ответ

а) $$ (2;3),\ (3;2) $$; б) $$ (3;6) $$.