Упр.44.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log5 (6 — 5^x) = 1 — x;
Р±) log3 (4 * 3^(x — 1) — 1) = 2x — 1.

1. $$\log_5(6-5^x)=1-x$$

   Область допустимых значений:

   $$6-5^x>0$$

   $$5^x<6$$

   Преобразуем уравнение:

   $$\log_5(6-5^x)=\log_5 5^{\,1-x}$$

   $$6-5^x=5^{\,1-x}=\frac{5}{5^x}$$

   Умножим на $$5^x$$:

   $$6\cdot 5^x-5^{2x}=5$$

   $$5^{2x}-6\cdot 5^x+5=0$$

   Сделаем замену: $$t=5^x$$, тогда

   $$t^2-6t+5=0$$

   $$\left(t-1\right)\left(t-5\right)=0$$

   $$t_1=1,\quad t_2=5$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$5^x=1 \Rightarrow x=0$$

   $$5^x=5 \Rightarrow x=1$$

   Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

2. $$\log_3(4\cdot 3^{x-1}-1)=2x-1$$

   Область допустимых значений:

   $$4\cdot 3^{x-1}-1>0$$

   $$3^{x-1}>\frac14$$

   $$x-1>\log_3\frac14$$

   $$x>1-\log_3 4$$

   Преобразуем правую часть:

   $$2x-1=\log_3 3^{2x-1}$$

   Тогда

   $$\log_3(4\cdot 3^{x-1}-1)=\log_3 3^{2x-1}$$

   $$4\cdot 3^{x-1}-1=3^{2x-1}$$

   Умножим на $$3$$:

   $$4\cdot 3^x-3=3^{2x}$$

   $$3^{2x}-4\cdot 3^x+3=0$$

   Сделаем замену: $$t=3^x$$, тогда

   $$t^2-4t+3=0$$

   $$\left(t-1\right)\left(t-3\right)=0$$

   $$t_1=1,\quad t_2=3$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$3^x=1 \Rightarrow x=0$$

   $$3^x=3 \Rightarrow x=1$$

   Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

а) $$x=0,\,1$$; б) $$x=0,\,1$$.