Упр.44.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) lg^2 x — lg x + 1 = 9 / lg 10x;
6) log3^2 x + 3log3 x + 9 = 37 / log3 x/27;
РІ) lg^2 x — 2lgx + 4 = 9 / lg 100x;
Рі) log2^2 x + 7log2 x + 49 = -218 / log2 x/128.

1. $$\lg^2 x-\lg x+1=\frac{9}{\lg 10x}$$

   Так как $$\lg 10x=1+\lg x,$$ положим $$y=\lg x.$$ Тогда

   $$y^2-y+1=\frac{9}{1+y}.$$

   Умножим на $$1+y$$:

   $$ (y+1)(y^2-y+1)=9 $$

   $$ y^3+1=9 $$

   $$ y^3=8,\quad y=2. $$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\lg x=2,\quad x=10^2=100.$$

2. $$\log_3^2 x+3\log_3 x+9=\frac{37}{\log_3 \frac{x}{27}}$$

   Так как $$\log_3 \frac{x}{27}=\log_3 x-3,$$ положим $$y=\log_3 x.$$ Тогда

   $$y^2+3y+9=\frac{37}{y-3}.$$

   Умножим на $$y-3$$:

   $$ (y-3)(y^2+3y+9)=37 $$

   $$ y^3-27=37 $$

   $$ y^3=64,\quad y=4. $$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_3 x=4,\quad x=3^4=81.$$

3. $$\lg^2 x-2\lg x+4=\frac{9}{\lg 100x}$$

   Так как $$\lg 100x=2+\lg x,$$ положим $$y=\lg x.$$ Тогда

   $$y^2-2y+4=\frac{9}{2+y}.$$

   Умножим на $$y+2$$:

   $$ (y+2)(y^2-2y+4)=9 $$

   $$ y^3+8=9 $$

   $$ y^3=1,\quad y=1. $$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\lg x=1,\quad x=10.$$

4. $$\log_2^2 x+7\log_2 x+49=-\frac{218}{\log_2 \frac{x}{128}}$$

   Так как $$\log_2 \frac{x}{128}=\log_2 x-7,$$ положим $$y=\log_2 x.$$ Тогда

   $$y^2+7y+49=-\frac{218}{y-7}.$$

   Умножим на $$y-7$$:

   $$ (y-7)(y^2+7y+49)=-218 $$

   $$ y^3-343=-218 $$

   $$ y^3=125,\quad y=5. $$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_2 x=5,\quad x=2^5=32.$$

Ответ

а) $$100$$; б) $$81$$; в) $$10$$; г) $$32$$.