Упр.44.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log23 (2x — 1) — log23 x = 0;
Р±) log0,5 (4x — 1) — log0,5 (7x — 3) = 1;
РІ) log3,4 (x^2 — 5x + 8) — log3,4 x = 0;
Рі) log1/2 (x + 9) — log1/2 (8 — 3x) = 2.

1. а)

   $$\log_{23}(2x-1)-\log_{23}x=0$$
   $$\log_{23}(2x-1)=\log_{23}x$$
   $$2x-1=x$$
   $$x=1$$

   Проверим ОДЗ:

   $$2x-1>0,\quad x>0$$
   $$x>\frac12$$

   Значит, $$x=1$$ подходит.

2. б)

   $$\log_{0,5}(4x-1)-\log_{0,5}(7x-3)=1$$
   $$\log_{0,5}\frac{4x-1}{7x-3}=1$$
   $$\frac{4x-1}{7x-3}=0,5$$
   $$4x-1=0,5(7x-3)$$
   $$4x-1=3,5x-1,5$$
   $$0,5x=-0,5$$
   $$x=-1$$

   Но ОДЗ:

   $$4x-1>0,\quad 7x-3>0$$
   $$x>\frac14,\quad x>\frac37$$

   Полученное значение не подходит. Корней нет.

3. в)

   $$\log_{3,4}(x^2-5x+8)-\log_{3,4}x=0$$
   $$\log_{3,4}(x^2-5x+8)=\log_{3,4}x$$
   $$x^2-5x+8=x$$
   $$x^2-6x+8=0$$
   $$(x-2)(x-4)=0$$
   $$x=2 \text{ или } x=4$$

   ОДЗ: $$x>0$$, оба корня подходят.

4. г)

   $$\log_{\frac12}(x+9)-\log_{\frac12}(8-3x)=2$$
   $$\log_{\frac12}\frac{x+9}{8-3x}=2$$
   $$\frac{x+9}{8-3x}=\left(\frac12\right)^2=\frac14$$
   $$4(x+9)=8-3x$$
   $$4x+36=8-3x$$
   $$7x=-28$$
   $$x=-4$$

   Проверка ОДЗ:

   $$x+9>0,\quad 8-3x>0$$
   $$x>-9,\quad x<\frac83$$

   Значение $$x=-4$$ подходит.

Ответ

а) $$1$$; б) корней нет; в) $$2,\,4$$; г) $$-4$$.