Упр.43.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log3 4 и (4)корень(2);
б) log2 3 и (3)корень(7).

а) Сравним $$\log_3 4$$ и $$\sqrt[4]{2}.$$

Так как $$2\cdot 5^4=1250<6^4=1296,$$ то

$$2<\frac{6^4}{5^4},$$

откуда

$$\sqrt[4]{2}<\frac{6}{5}.$$

Сравним $$\log_3 4$$ и $$\frac{6}{5}.$$ Имеем

$$3^6=729<1024=4^5,$$

значит

$$\log_3 3^6<\log_3 4^5,$$

то есть

$$6<5\log_3 4,$$

следовательно,

$$\log_3 4>\frac{6}{5}.$$

Тогда

$$\log_3 4>\frac{6}{5}>\sqrt[4]{2},$$

значит

$$\log_3 4>\sqrt[4]{2}.$$

б) Сравним $$\log_2 3$$ и $$\sqrt[3]{7}.$$

Так как $$7\cdot 3^3=189>125=5^3,$$ то

$$7>\frac{5^3}{3^3},$$

откуда

$$\sqrt[3]{7}>\frac{5}{3}.$$

Сравним $$\log_2 3$$ и $$\frac{5}{3}.$$ Имеем

$$3^6=729<1024=4^5,$$

значит

$$\log_2 2^5>\log_2 3^3,$$

то есть

$$5>3\log_2 3,$$

следовательно,

$$\log_2 3<\frac{5}{3}.$$

Тогда

$$\log_2 3<\frac{5}{3}<\sqrt[3]{7},$$

значит

$$\log_2 3<\sqrt[3]{7}.$$

Ответ

а) $$\log_3 4>\sqrt[4]{2}$$; б) $$\log_2 3<\sqrt[3]{7}$$.