Упр.43.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) log4 (sin РїРё/12) + 1/3 log4 (sin^3 13РїРё/6) + log4 (sin 7РїРё/12);
6) 1/2 log8 (cos РїРё/8 — sin РїРё/8)^2 — log8 (cos РїРё/8 + sin РїРё/8)^-1.

Подробный ответ

а)

$$ \log_4\left(\sin\frac{\pi}{12}\right)+\frac13\log_4\left(\sin^3\frac{13\pi}{6}\right)+\log_4\left(\sin\frac{7\pi}{12}\right) $$

$$ =\log_4\left(\sin\frac{\pi}{12}\right)+\log_4\left(\sin\frac{13\pi}{6}\right)+\log_4\left(\sin\frac{7\pi}{12}\right) $$

Так как $$\sin\frac{13\pi}{6}=\sin\left(2\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$
а $$\sin\frac{7\pi}{12}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{12}\right)=\cos\frac{\pi}{12},$$
то

$$ =\log_4\left(\sin\frac{\pi}{12}\cdot \sin\frac{13\pi}{6}\cdot \sin\frac{7\pi}{12}\right) =\log_4\left(\sin\frac{\pi}{12}\cdot \frac12\cdot \cos\frac{\pi}{12}\right). $$

Используем формулу $$\sin x\cos x=\frac12\sin 2x$$:

$$ \log_4\left(\frac12\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}\right) =\log_4\left(\frac12\cdot \frac12\sin\frac{\pi}{6}\right) =\log_4\left(\frac12\cdot \frac12\cdot \frac12\right) =\log_4\left(\frac18\right). $$

$$ \frac18=2^{-3}, \qquad 4=2^2, $$
поэтому

$$ \log_4\left(\frac18\right)=\log_{2^2}(2^{-3})=-\frac32. $$

б)

$$ \frac12\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}\right)^2-\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)^{-1} $$

$$ =\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}\right)-\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)^{-1}. $$

Так как $$\log_8 a^{-1}=-\log_8 a,$$ получаем

$$ =\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}\right)+\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right). $$

$$ =\log_8\left[\left(\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}\right)\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)\right] $$

$$ =\log_8\left(\cos^2\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8}\right) =\log_8\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) =\log_8\left(\frac{1}{\sqrt2}\right). $$

$$ \frac{1}{\sqrt2}=2^{-1/2}, \qquad 8=2^3, $$
значит

$$ \log_8\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=\log_{2^3}(2^{-1/2})=-\frac{1}{6}. $$