Упр.43.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log3 (2tg РїРё/8) — log3 (1 — tg^2 РїРё/8);
б) logкорень(3) (tg пи/19) + logкорень(3) (ctg пи/19);
РІ) log1/3 (2tg РїРё/6) + log1/3 (1 — tg^2 РїРё/6)^-1;
Рі) log1/2 (tg РїРё/7) + log1/2 (tg 5/14 РїРё).

1. $$\log_3\left(2\tg\frac{\pi}{8}\right)-\log_3\left(1-\tg^2\frac{\pi}{8}\right)=\log_3\frac{2\tg\frac{\pi}{8}}{1-\tg^2\frac{\pi}{8}}$$

   По формуле $$\tg 2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}$$ получаем:

   $$\log_3\frac{2\tg\frac{\pi}{8}}{1-\tg^2\frac{\pi}{8}}=\log_3\tg\frac{\pi}{4}=\log_3 1=0$$

2. $$\log_{\sqrt{3}}\left(\tg\frac{\pi}{19}\right)+\log_{\sqrt{3}}\left(\ctg\frac{\pi}{19}\right)=\log_{\sqrt{3}}\left(\tg\frac{\pi}{19}\cdot\ctg\frac{\pi}{19}\right)$$

   Так как $$\tg x\cdot\ctg x=1$$, то

   $$\log_{\sqrt{3}}1=0$$

3. $$\log_{\frac13}\left(2\tg\frac{\pi}{6}\right)+\log_{\frac13}\left(1-\tg^2\frac{\pi}{6}\right)^{-1}$$

   $$=\log_{\frac13}\left(2\tg\frac{\pi}{6}\right)-\log_{\frac13}\left(1-\tg^2\frac{\pi}{6}\right)$$

   $$=\log_{\frac13}\frac{2\tg\frac{\pi}{6}}{1-\tg^2\frac{\pi}{6}}=\log_{\frac13}\tg\frac{\pi}{3}=\log_{\frac13}\sqrt{3}$$

   $$\sqrt{3}=\left(\frac13\right)^{-\frac12}, \quad \Rightarrow \quad \log_{\frac13}\sqrt{3}=-\frac12$$

4. $$\log_{\frac12}\left(\tg\frac{\pi}{7}\right)+\log_{\frac12}\left(\tg\frac{5\pi}{14}\right)=\log_{\frac12}\left(\tg\frac{\pi}{7}\cdot\tg\frac{5\pi}{14}\right)$$

   Так как $$\frac{5\pi}{14}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7}$$, то

   $$\tg\frac{5\pi}{14}=\ctg\frac{\pi}{7}$$

   Следовательно,

   $$\log_{\frac12}\left(\tg\frac{\pi}{7}\cdot\ctg\frac{\pi}{7}\right)=\log_{\frac12}1=0$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$0$$; в) $$-\frac12$$; г) $$0$$.